O número de Womersley é um parâmetro adimensional usado para estudar o fluxo sanguíneo transiente através das artérias durante os batimentos cardíacos. Ele é uma razão entre as forças transiente e viscosa, sendo escrito como W o = r 2 π f ρ / μ , onde r é o raio do vaso, f é a frequência do batimento cardíaco, μ é a viscosidade aparente e ρ é a densidade do sangue. A pesquisa mostrou que o raio r da aorta de um mamífero pode ser relacionado a sua massa m por r = 0,0024 m 0,34 , onde r está em metros e m em quilogramas. Determine o número de Womersley para um cavalo que possui uma massa de 350   k g e uma taxa de batimentos cardíacos de 30 batidas por minuto (bpm), e compare-o com o de um coelho com uma massa de 2   k g a taxa de batimento cardíaco de 180 bpm. As viscosidades do sangue para o cavalo e o coelho são μ c a v a l o = 0,0052   N ∙ s / m 2 e μ c o e l h o = 0,0040   N ∙ s / m 2 , respectivamente. A densidade do sangue para ambos é ρ s = 1060   k g / m 3 . Desenhe o gráfico dessa variação do número de Womersley (eixo vertical) com a massa para esses dois animais. Os resultados deverão mostrar que as forças transientes aumentam à medida que o tamanho do animal aumenta. Explique porque isso acontece.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! O número adimensional de Womersley em termos da massa é dado por

W o = r 2 π f ρ μ  

Para o cavalo, f c a v a l o = 30 b a t i m e n t o s m i n   1   m i n 60   s = 0,5   b a t i m e n t o s / s . Então, temos

W o c a v a l o = 0,0024 m 0,34 2 π 0,5 r a d / s ( 1060   k g / m 3 ) 0,0052   N ∙ s / m 2

W o c a v a l o = 1,9206 m 0,34

Para a massa m = 350   k g , que o enunciado nos deu, temos

W o c a v a l o = 1,9206 ∙ ( 350 0,34 ) = 14,1

Passo 2

Para o coelho, f c o e l h o = 18 0 b a t i m e n t o s m i n   1   m i n 60   s = 3   b a t i m e n t o s / s . Então, temos

W o c o e l h o = 0,0024 m 0,34 2 π 3 r a d / s ( 1060   k g / m 3 ) 0,00 40   N ∙ s / m 2

W o c o e l h o = 5,3640 m 0,34

Para a massa m = 2   k g , que o enunciado nos deu, temos

W o c o e l h o = 5,3640 ∙ ( 2 0,34 ) = 6,79

Passo 3

Agora vamos plotar o gráfico da variação do número de Womersley com a massa para esses dois animais. Para isso vamos considerar inserir valores diferentes para a massa e observar o comportamento da função.

Para o cavalo,

Plotando, temos:

Passo 4

Para o coelho, variamos a massa de 0 a 4:

Plotando, temos:

Resposta

14,1

6,79

Gráficos