Um objeto bidimensional é colocado em um túnel de água, com largura de 4 ft, conforme mostrado. A velocidade a montante, υ1, é uniforme ao longo da seção transversal. Para o perfil de velocidades a jusante, como mostrado, encontre o valor de υ2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para determinar a velocidade v 2 do túnel, a gente vai fazer o seguinte:

A profundidade da água fluindo pelo túnel é de 1   f t

Aplicando a conservação de massa para o escoamento incompressível permanente, temos:

ρ v 1 w ⋅ 1 = 2 ∫ 0 1 ρ v 2 y ⋅ 1 d y + ∫ 1 2 ρ v 2 1 ⋅ 1 d y

Aqui, temos:

1. densidade da água ρ

2. distância do centro do túnel y

3. volume da taxa de escoamento do meio de 2   f t da saída é ∫ 0 1 ρ v 2 y ⋅ 1 d y

4. a zona de saída com velocidade uniforme ∫ 1 2 ρ v 2 1 ⋅ 1 d y

Passo 2

A equação pode ser escrita como

ρ v 1 w = 2 ρ v 2 ∫ 0 1 y d y + ∫ 1 2 d y

Integrando temos:

v 1 w = 2 v 2 y 3 2 0 1 + y 1 2

→ v 1 w = 2 v 2 1 2 2 - 0 + 2 - 1

→ v 1 w = 2 v 2 3 2

→ v 1 w 3 v 2

∴ v 2 = v 1 w 3

Passo 3

A gente pode calcular a velocidade v 2 do túnel como:

v 2 = v 1 w 3

Aqui, temos:

1. velocidade v 1 = 20   f p s

2. comprimento do túnel w = 4   f t

Substituindo os valores:

v 2 = 20   f p s 4   f t 3

∴ v 2 = 26,7   f p s

Resposta

v 2 = 26,7   f p s