Enunciado

A parede do trocador de calor separa a água quente a T A = 90 ° C de água fria a T B = 10 ° C . Para aumentar a área de transferência de calor, ranhuras bidimensionais são usinadas no lado frio da parede, como mostrado na Fig. P5–49. Essa geometria causa tensões térmicas não uniformes, o que pode tornar crítico o aparecimento de rachaduras ao longo da linha entre duas ranhuras. Para prever a tensão térmica, o campo de temperatura no interior da parede deve ser determinado. Os coeficientes de convecção são suficientemente elevados de modo que a temperatura superficial é igual à dá água em cada lado da parede.

( a ) Identifique a menor seção da parede que pode ser analisada a fim de encontrar o campo de temperatura em toda parede.

( b ) Para o domínio encontrado na parte ( a ) , construa a malha bidimensional com ∆ x = ∆ y = 5   m m e escreva a matriz de equações A T = C (os elementos das matrizes A e C devem ser números). Não resolva para T .

( c ) Um termopar montado no ponto M mede 46,9   ° C . Determine as outras temperaturas desconhecidas na malha definida na parte ( b ) .

Passo 1

Vamos lá, note que a geometria em si é simétrica e isso irá nos ajudar a resolver o problema. Considerando a menor seção da parede a partir da simetria, podemos considerar os elementos entre o topo e a base de somente uma crista.

Passo 2

Logo, nosso domínio pode ser esboçado como:

Onde nas extremidades indicadas temos as seguintes temperaturas, T A = 90 ° C e T B = 10 ° C .

Com isso podemos esboçar as equações de diferenças finitas para cada nó. Considerando as quatro direções. Sendo eles:

N ó   1 :

k T B - T 1 ∆ x + k T 2 - T 1 ∆ x ∆ x 2 + k T B - T 1 ∆ x ∆ x 2 = 0

2 T B - 2 T 1 + T 2 - T 1 + T B - T 1 = 0

4 T 1 - T 2 = 3 T B = 3 × 10 = 30

N ó   2 :

k T 1 - T 2 ∆ x ∆ x 2 + k T 3 - T 2 ∆ x ∆ x + k T A - T 2 ∆ x ∆ x 2 = 0

T 1 - T 2 + 2 T 3 - 2 T 2 + T A - T 2 = 0

- T 1 + 4 T 2 - 2 T 3 = T A = 9 0

N ó   3 :

4 T 3 = T 2 + T A + T B + T B

- T 2 + 4 T 3 = 2 T B + T A = 2 × 10 + 90 = 11 0

Passo 3

Agora que possuímos as equações para cada nó, podemos criar nossa matriz, certo?

Logo ela ficará assim...

4 - 1 0 - 1 4 - 2 0 - 1 4 T 1 T 2 T 3 = 30 90 110

Passo 4

Usando nossas equações encontradas anteriormente temos que T 2 = 46,9 ° C .

Agora basta substituímos nas outras equações para encontrar T 1   e T 3 ...

4 T 1 - T 2 = 30

4 T 1 - 46,9 = 30

T 1 = 19,2 ° C

- T 2 + 4 T 3 = 110

- 46,9 + 4 T 3 = 110

T 3 = 39,2 ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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