Enunciado

Partículas de pó com diâmetro de 0,05 mm e densidade de 1,8 g/cm³ são levantadas pelo ar durante ventos fortes e sobem até uma altitude de 350 m quando o vento se acalma. Estime quanto tempo levará para que as partículas de pó caiam de volta à terra em ar parado a 1 atm e 15 °C; estime também sua velocidade. Desconsidere o período de transição inicial durante o qual as partículas de pó aceleram até atingir sua velocidade terminal; suponha que a lei de Stokes seja aplicável.

Passo 1

Antes de começar esse exercício, nós vamos lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar as propriedades de interesse do ar nas condições de 1 atm e 15 °C, de onde teremos:

ρ a = 1,225   k g / m 3

μ a = 1,802 . 10 - 5   k g / m . s

Beleza! Nós sabemos então que a velocidade terminal de um objeto em queda livre, ou nesse caso, a suspensão de um objeto ou partícula no ar, ocorre quando a força de arrasto se iguala ao peso do objeto em queda menos a força de empuxo exercida pelo meio em que está, ou seja, resumindo isso, temos:

F D = W - F E

Então, pela lei de Stokes, temos a força de arrasto sendo dada pela equação 11-12 vista nesse capítulo, dada por:

F D = 3 π μ a V D

Agora, sabendo que o peso da partícula de pó pode ser dado pelo volume vezes a sua densidade vezes a aceleração da gravidade, teremos:

W = ρ p V g = ρ π D 3 6 g → W = ρ p π g D 3 6

E, que, por sua vez, a força de empuxo é dada pela mesma equação, só que considerando a densidade do ar, teremos:

F E = ρ a V g = ρ π D 3 6 g → F E = ρ a π g D 3 6

Passo 2

Agora então, nós vamos substituir as expressões encontradas para a força de arrasto, para o peso da partícula de pó e para a força de empuxo lá na equação do passo 1, então teremos:

F D = W - F E → 3 π μ a V D = ρ p π g D 3 6 - ρ a π g D 3 6

3 π μ a V D = ρ p - ρ a π g D 3 6

Isolando a velocidade dessa expressão, chegamos em:

V = ρ p - ρ a g D 2 18 μ a

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

V = 1800 - 1,225 9,81 0,05.10 - 3 2 18 1,802 . 10 - 5 → V = 0 , 136   m / s

Essa é a velocidade terminal.

Passo 3

Agora, para verificar se nossa hipótese de assumir a lei de Stokes é válida, precisamos que o número de Reynolds seja pequeno, de ordem de grandeza próximo de 1, conforme vimos no começo da seção 11-4 desse capítulo. Então, sabendo que o número de Reynolds é dado por:

R e = ρ a V D μ a

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R e = 1,225 0,136 0,05.10 - 3 1,802 . 10 - 5 → R e = 0,46

Então, como o número de Reynolds é de ordem de grandeza próximo de 1, a aproximação que fizemos é válida. Então agora, para calcular o intervalo de tempo para percorrer os 350 m de altitude nessa velocidade terminal, basta escrever a velocidade como a razão por esse deslocamento pelo intervalo de tempo, onde temos:

V = Δ S Δ t → Δ t = Δ S V

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

Δ t = 350 0,136 → Δ t = 2573,5   s

Resposta

V = 0,136   m / s

Δ t = 2573,5   s

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