Enunciado

Uma película de tinta molhada de espessura uniforme, δ , está pintada sobre uma parede vertical. A tinta molhada pode ser aproximada como um fluido de Bingham com tensão de escoamento τ y e massa específica ρ . Deduza uma expressão para o máximo valor de δ que pode ser sustentado sem que a tinta escorra para baixo na parede. Calcule a máxima espessura para tinta de litografia cuja tensão de escoamento é τ y = 40   P a e a massa específica é aproximadamente ρ = 1000   k g / m 3 .

Passo 1

Olhando o Exemplo resolvido 8.3 desse capítulo, podemos escrever a variação da tensão de cisalhamento em relação à y da seguinte forma:

d τ y x d y = - ρ g

Então, integrando essa expressão em y , chegamos em:

τ y x = - ρ g y + c 1

Para determinar o valor da constante c 1 , vamos utilizar a condição de contorno na superfície do fluido em contato com o ambiente. Nesse ponto sabemos que não há tensão de cisalhamento, dessa forma, temos:

y = δ → τ y x = 0

Então, substituindo esses valores na equação para o cisalhamento, temos:

0 = - ρ g δ + c 1 → c 1 = ρ g δ

Então, a equação se torna:

τ y x = - ρ g y + ρ g δ → τ y x = ρ g ( δ - y )

Passo 2

Analisando a equação obtida no passo 1, é possível notar que a maior tensão de cisalhamento ocorre na parede, o que já era de se esperar, para y = 0 , e é dada por:

τ y x m á x = ρ g δ

Então, haverá movimento quando a tensão de cisalhamento τ y x for maior do que a tensão de escoamento τ y , ou seja:

τ y x m á x > τ y → ρ g δ > τ y

No entanto, como queremos a máxima espessura para que a tinta não escorra, então, vamos pegar o caso limite, onde:

ρ g δ = τ y

Passo 3

Então, substituindo os valores conhecidos na equação obtida no passo anterior, temos:

1000 9,81 δ = 40 → δ = 4,08.10 - 3   m

Resposta

δ = 4,08.10 - 3   m

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