Uma pequena bola de aço de raio r , colocada no topo de uma esfera muito maior, de raio R , começa a rolar sob a influência da gravidade. As resistências de rolamento e do ar são desprezíveis. Quando a velocidade da bola aumenta, ela deixa a superfície da esfera e torna-se um projétil. Determine o local em que a bola perde o contato com a esfera.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Nesse problema a questão nos deu uma esfera de raio r colocada no topo de outra esfera maior, com raio R :

Para encontrar o local em que a bola perde o contato com a esfera precisamos fazer o somatório de forças na direção normal, n ^ . Assim,

∑ F n = F n - m g cos ⁡ θ = m a n

Onde a n é a aceleração centrípeta, dada por:

a n = - v 2 R + r

O contato é perdido quando a força F n = 0 . Então,

- m g cos ⁡ θ = - m v 2 R + r

v 2 = R + r g cos ⁡ θ

Passo 2

Como as resistências de rolamento e do ar são desprezíveis, a energia é conservada ( E = E 0 ) e nós temos:

E = m g z + m v 2 2

= m g   R + r cos ⁡ θ + m v 2 2 = E 0 = m g ( R + r )

Isolando o v 2 :

v 2 = 2 g ( R + r ) ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora vamos combinar as equações dos passos 1 e 2 para obter o valor de θ .

v 2 = 2 g ( R + r ) ( 1 - cos ⁡ ( θ ) ) = ( R + r ) g   c o s ⁡ ( θ )

2 1 - cos ⁡ θ = c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ = 2 - 2 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ = 2

cos ⁡ θ = 2 3

Então,

θ = cos - 1 ⁡ 2 3 ≈ 48,2 °

Resposta

48,2 °