Enunciado

Uma pequena bola de aço de raio r = 1 mm é colocada no topo de um tubo horizontal de raio externo maior R = 50 mm, e começa a rolar para baixo sob a influência da gravidade. As resistências de rolamento e do ar são desprezíveis. Como a velocidade da bola aumenta, ela eventualmente deixa a superfície do tubo e torna-se um projétil. Determine a velocidade em que a bola perde o contato com o tubo.

Passo 1

Nesse probleminha temos uma bola e um tubo horizontal, em que devmos encontrar a velocidade e local em que o contato é perdido. As forças agindo sobre o sistema são aquelas básicas como a normal, o peso e a velocidade. Para responder, fazemos a analise de forças:

∑ F n = F n - m g cos ⁡ θ = m   a n

Então a aceleração centrípeta é dada por: a n = - V 2 R + r . O contato se perde quando F n = 0 , portanto, substituindo na expressão :

- m g cos ⁡ θ = - m V 2 R + r

Isolamos a velocidade:

V 2 = g R + r cos ⁡ θ

Passo 2

Para que nenhuma energia de resistência seja conservada, então:

E = m g z + m V 2 2

= m g R + r cos ⁡ θ + m V 2 2 = E 0 = m g ( R + r )

Daí, por considerações energéticas:

V 2 = 2 g R + r ( 1 - cos ⁡ θ )

Combinando as duas equações de velocidade, temos

g R + r cos ⁡ θ = 2 g R + r 1 - cos ⁡ θ

Eliminando os termos semelhantes,

2 1 - cos ⁡ θ = cos ⁡ θ

Logo, θ = acos ⁡ ( 2 3 ) = 48,2   ° .

Substituindo na primeira expressão:

V 2 = R + r g cos ⁡ θ

= 50 × 10 - 3 + 1 × 10 - 3 × 9,81 m s 2 × cos ⁡ ( 48,2 ° )

V = 0,577 m s

Resposta

V = 0,577 m s

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