Para uma pequena partícula de isopor (1 lbm/ft³) (esférica, com diâmetro d = 0,3 mm), caindo em ar padrão a uma velocidade V, a força de arrasto é dada por F D = 3 π μ V d onde μ é a viscosidade do ar. Partindo do repouso, determine a velocidade máxima e o tempo que a partícula leva para atingir 95% dessa velocidade. Trace um gráfico da velocidade em função do tempo

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certo? Aqui temos mais um problema bem interessante de mecânica dos fluidos. Bora lá!?

Primeiramente, vamos separar todos os dados disponíveis:

ρ = 1   l b m / f t 3 d = 0,3   m m

F D = 3 π μ V d

Passo 2

Vamos lá, para esse exercício usaremos a equação da densidade da esfera, logo, sabemos que:

ρ e s f e r a = S G ∙ ρ w

Sendo assim, sabemos também que a massa da esfera é densidade sobre o volume, logo:

M = ρ e s f e r a ∙ π d 3 6

Agora vamos calcular a massa da esfera:

M = 1 ∙ π ( 0,3 ) 3 6

M = 0,01413   l b m   o u   1,413 × 10 - 2   l b m

Passo 3

Agora, pela 2ª Lei de Newton, vamos utilizar o estado em repouso, para isso, temos:

V m á x =   m g 3 π d μ

Encontraremos a velocidade máxima ignorando os efeitos da flutuação: V m á x =   m g 3 π d μ

V m á x =   1,413 × 10 - 2 ∙ 9,8 3 π ∙ 0,3 ∙ 17,2

V m á x =   0,0284   f t / s

Passo 4

Voltando para a 2ª Lei de Newton em um estado geral, obtemos:

m d v d t = M g - 3 π V d μ

d V g - 3 π μ d V M = d t

Passo 5

Esse exercício ele cairá em uma EDO para que possamos resolver (embora não seja o nosso foco), mas, vamos lá:

V t =   m g 3 π μ d ∙ ( 1 - e - 3 π μ d m ∙ t )

Substituindo os dados e a velocidade por 95% da máxima, encontramos:

V t =   1,413 × 10 - 2 ∙ 9,8 3 π ∙ 0,3 ∙ 17,2 ∙ ( 1 - e - 3 π ∙ 0,3 ∙ 17,2 1,413 × 10 - 2 ∙ 2,698 × 10 - 4 )

V t =   6,5 × 10 - 4   f t / s

Passo 6

Por fim, vamos plotar o gráfico:

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaau!

Resposta

V t =   6,5 × 10 - 4   f t / s