O perfil de velocidade de um líquido muito espesso fluindo ao longo de um canal de largura constante é aproximado como u = 3 y 2   m m / s , onde y está em milímetros. Determine a função corrente para o escoamento e desenhe as linhas de corrente para ψ 0 = 0 , ψ 1 = 1   m m 2 / s e ψ 2 = 2   m m 2 / s .

Passo 1

Pessoal, consideramos o fluido ideal e estacionário. A questão nos deu as componentes da velocidade:

u = 3 y 2   m m / s

v = 0

u = ∂ ψ ∂ y         →         3 y 2 = ∂ ψ ∂ y

Integrando em relação a y , temos:

ψ = y 3 + f ( x )

Usando a componente v :

v = - ∂ ψ ∂ x     →     0 = - ∂ ∂ x y 3 + f ( x )

0 = ∂ ∂ x f ( x )

Integrando em relação a x , temos:

f x = C

Vamos assumir que C = 0 e então a nossa função corrente será:

ψ = y 3 + C

ψ = y 3

Passo 2

Desenhando as linhas de corrente para os pontos dados:

ψ 0 = 0   →     y = 0

ψ 1 = 1   →       y = 1

ψ 2 = 2           →     y = 1 , 26

Temos,

Resposta

ψ = y 3