Enunciado

Os perfis de velocidade e temperatura na seção transversal do escoamento laminar de ar com transferência de calor num tubo são dados por.

V = u c 1 - r R 2   i ^

T = T c 1 + 1 2 r R 2 - 1 4 r R 4

Onde o versor i ^ está alinhado com o eixo do tubo, o subscrito c indica o valor na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e T é a temperatura local. Mostre como se calcula a vazão em massa numa seção transversal do tubo.

Passo 1

Bom! Bora pra luta, meus queridos!

Vimos na teoria que para um volume de controle, o que entra tem que ser igual ao que sai.

Assim, usando a seguinte fórmula da vazão mássica...

m ˙ = ρ A u - = ∫ A ρ V → n ^ d A

E usando a fórmula da densidade para um gás ideal:

ρ = P R a r T

Uma vez que para uma seção de área circular, o diferencial de área é dado por...

d A = 2 π r d r

Passo 2

Então, substituindo d A e ρ na fórmula de m ˙ :

m ˙ = ρ A u - = ∫ A ρ V → n ^ d A

m ˙ = ∫ A P R a r T u c 1 - r R 2 2 π r d r

Passo 3

Para uma pressão estática uniformemente distribuída, temos que...

m ˙ = 2 π ρ u c R a r T c R 2 ∫ 0 R 1 - r R 2 r R d r R   1 + 1 2 r R 2 - 1 4 r R 4

Considerando uma variável β qualquer...

β = 1 + 1 2 r R 2 - 1 4 r R 4

Então, ficamos com...

m ˙ = 2 π ρ u c R a r T c R 2 ∫ 0 R 1 - r R 2 r R d r R   β

m ˙ = 2 π ρ u c R a r T c R 2 ∫ 1 5 4 d β β

m ˙ = 2 π ρ u c R a r T c R 2 ln ⁡ β 1 5 4

m ˙ = 0,701 ρ u c R 2 R a r T c

Resposta

m ˙ = 0,701 ρ u c R 2 R a r T c

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