Enunciado

Os perfis de velocidades e de temperaturas para o escoamento laminar em um tubo com raio r 0   =   10   m m têm as formas:

u r = 0,1   1 - r r 0 2

T r = 344,8 + 75,0 r r 0 2 - 18,8 r r 0 4

Com unidades de m/s e K, respectivamente. Determine o valor correspondente para a temperatura média (média de mistura), T m , nessa posição axial.

Passo 1

E aí pessoas ?!

Como vocês estão hoje? Espero que animados para desvendar os mistérios desta questão !!

Vamos começar relembrando, como se calcula a temperatura média?

No nosso querido Incropera nos diz que:

T m = 2 u m r 0 2 ∫ 0 r 0 u r . T r . r . d r

Temos quase tudo, só nos falta u m ! Mas a velocidade média também sabemos como calcular:

u m = 2 r 0 2 ∫ 0 r 0 u r . r . d r

Bora começar os trabalhos?

Aplicando nossos valores para achar a velocidade média:

u m = 2 r 0 2 ∫ 0 r 0 0,1   1 - r r 0 2 . r . d r

Para facilitar nossa vida vamos manipular um pouco essa expressão:

u m = 2 r 0 2 r 0 2 ∫ 0 1 0,1   1 - r r 0 2 . r r 0 . d r r 0

u m = 0,2 ∫ 0 1   r r 0 - r r 0 3 . d r r 0 = 0,2   r r 0 2 2 - r r 0 4 4 1 0

u m = 0,2   1 2 2 - 1 4 4 = 0,05 m s

Passo 2

Agora que temos a velocidade média vamos achar a temperatura média:

T m = 2 u m r 0 2 ∫ 0 r 0 0,1   1 - r r 0 2 × 344,8 + 75,0 r r 0 2 - 18,8 r r 0 4 . r . d r

Alterando novamente a expressão para facilitar a nossa vida:

T m = 2 r 0 2 0,05 r 0 2 ∫ 0 1 0,1   1 - r r 0 2 × 344,8 + 75,0 r r 0 2 - 18,8 r r 0 4 . r r 0 . d r r 0

T m = 4 ∫ 0 1 1 - r r 0 2 × 344,8 r r 0 + 75,0 r r 0 3 - 18,8 r r 0 5 . d r r 0

T m = 4 ∫ 0 1 344,8 r r 0 - 344,8 r r 0 3 + 75,0 r r 0 3 - 75,0 r r 0 5 - 18,8 r r 0 5 + 18,8 r r 0 7 . d r r 0

T m = 4 ∫ 0 1 344,8 r r 0 - 269,8 r r 0 3 - 93,8 r r 0 5 + 18,8 r r 0 7 . d r r 0

T m = 4 344,8 2 r r 0 2 - 269,8 4 r r 0 4 - 93,8 6 r r 0 6 + 18,8 8 r r 0 8 1 0

Aplicando o intervalo:

T m = 4 344,8 2 1 2 - 269,8 4 1 4 - 93,8 6 1 6 + 18,8 8 1 8 1 0

T m = 366,68   K

E assim nós acabamos mais umaa !!

Resposta

T m = 366,68   K

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