Enunciado

Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno especificadas. Usando os resultados da solução exata para a equação do calor apresentados na Seção 4.2, calcule a temperatura no ponto central ( 1,0 ; 0,5 ) , utilizando os cinco primeiros termos não nulos da série infinita que deve ser determinada. Avalie o erro decorrente do uso somente dos três primeiros termos da série infinita. Represente graficamente as distribuições de temperaturas T ( x ; 0,5 ) e T ( 1,0 ; y ) .

Passo 1

Fala aí! Olha só, essa questão quer primeiro que a gente encontre o valor da temperatura no ponto dado, e depois pede pra gente representar graficamente as distribuições de temperaturas, beleza?

Relaxa que a gente dá conta juntos!

Vamos nessa!

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma série infinita, vamos utilizar a equação:

θ ( x , y ) = T - T 1 T 2 - T 1

θ ( x , y ) = 2 π   .   ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n . s e n n . π . x L . s e n h n . π . y / L s e n h n . π . W / L

Como nosso enunciado diz que vamos fazer os cálculos no ponto central, isso quer dizer que estamos na metade exata de cada comprimento, ou seja:

x L = 1 2 y L = 1 4 W L = 1 2

Agora vamos substituir tudo isso na equação:

θ ( 1,0 ; 0,5 ) = 2 π   .   ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n . s e n n . π 2 . s e n h n . π / 4 s e n h n . π / 2

Estabelecendo a série infinita de 5 termos não nulos podemos considerar os cinco primeiros números ímpares positivos, beleza?

Ficamos então com n = 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9 , e colocando isso na nossa equação ficaremos com:

θ ( 1,0 ; 0,5 ) = 2 π   .   { - 1 1 + 1 + 1 1 . s e n 1 . π 2 . s e n h 1 . π / 4 s e n h 1 . π / 2   +   - 1 3 + 1 + 1 3 . s e n 3 . π 2 . s e n h 3 . π / 4 s e n h 3 . π / 2   +   - 1 5 + 1 + 1 5 . s e n 5 . π 2 . s e n h 5 . π / 4 s e n h 5 . π / 2   +

  - 1 7 + 1 + 1 7 . s e n 7 . π 2 . s e n h 7 . π / 4 s e n h 7 . π / 2   +     - 1 9 + 1 + 1 9 . s e n 9 . π 2 . s e n h 9 . π / 4 s e n h 9 . π / 2 }

θ ( 1,0 ; 0,5 ) = 2 π   .   { 2   .   s e n π 2 . s e n h π / 4 s e n h π / 2   +   2 3   .   s e n 3 . π 2 . s e n h 3 . π / 4 s e n h 3 . π / 2   +   2 5   .   s e n 5 . π 2 . s e n h 5 . π / 4 s e n h 5 . π / 2   +

  2 7   .   s e n 7 . π 2 . s e n h 7 . π / 4 s e n h 7 . π / 2   +     2 9   .   s e n 9 . π 2 . s e n h 9 . π / 4 s e n h 9 . π / 2 }

θ 1,0 ; 0,5 = 2 π   .   0,755 - 0,063 + 0,008 - 0,001 + 0,000

θ 1,0 ; 0,5 = 0,445

Passo 3

Estamos quase lá! Vamos agora achar a temperatura:

T 1,0 ; 0,5 = θ 1,0 ; 0,5   .   T 2 - T 1 + T 1

T 1,0 ; 0,5 = 0,445   .   150 - 50 + 50

T 1,0 ; 0,5 = 94,5 ° C

Precisamos então fazer a mesma coisa para os três primeiros termos da série, e verificar o erro da temperatura… Vamos nessa!

θ ( 1,0 ; 0,5 ) = 2 π   .   - 1 1 + 1 + 1 1 . s e n 1 . π 2 . s e n h 1 . π / 4 s e n h 1 . π / 2   +   - 1 3 + 1 + 1 3 . s e n 3 . π 2 . s e n h 3 . π / 4 s e n h 3 . π / 2   +   - 1 5 + 1 + 1 5 . s e n 5 . π 2 . s e n h 5 . π / 4 s e n h 5 . π / 2

θ ( 1,0 ; 0,5 ) = 2 π   .   2   .   s e n 1 . π 2 . s e n h π / 4 s e n h π / 2   +   2 3 . s e n 3 . π 2 . s e n h 3 . π / 4 s e n h 3 . π / 2   +   2 5 . s e n 5 . π 2 . s e n h 5 . π / 4 s e n h 5 . π / 2

θ 1,0 ; 0,5 = 2 π   .   0,755 - 0,063 + 0,008

θ 1,0 ; 0,5 = 0,46

Opa! Temos então um erro muito baixo… menor que 0,2 % ! Show! Agora só falta fazer o gráfico e a gente termina essa!

Nossa curva azul corresponde ao T ( 1 ; y ) e a verde ao nosso T ( x ; 0,5 ) :

Resposta

T 1,0 ; 0,5 = 94,5 ° C

Se usarmos apenas os três primeiros números da sequência temos um erro muito baixo, menor que 0,2 % .

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