Enunciado

Em uma planta de processamento de alimentos, mel é bombeado em um espaço anular de comprimento L = 2 m e com raio interno Ri = 5 mm e raio externo Re = 25 mm. A diferença de pressão aplicada é Δp = 125 kPa e a viscosidade do mel é μ = 5 N · s/m2. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através de um espaço anular é:

Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão. Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero. Determine a força viscosa atuando nas superfícies interna e externa, e compare esses valores com a força Δpπ(Ro2 − Ri2). Explique.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. O nosso problema quer que a gente mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita pela expressão que foi dada e quer que a gente determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero e a força viscosa atuando nas superfícies interna e externa… Ou seja, é bastante coisa, mas a gente consegue dar conta!

Sabemos que o perfil de velocidade é dado por:

u z r = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - r 2 - R 0 2 - R i 2 l n   R i R 0   l n   r R i    

Aplicando as condições de contorno, temos que em r = R 0 , a velocidade será:

u z R 0 = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R 0 2 - R 0 2 - R i 2 l n   R i R 0   l n   R 0 R i    

Aplicando a propriedade de logaritmo que o log da divisão é a subtração de logs, teremos:

u z R 0 = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R 0 2 - R 0 2 - R i 2 l n   R i - ln ⁡ R 0 × ln ⁡ R 0 - ln ⁡ R i  

Agora a ideia é tentar cortar o termo com ln’s do numerador com o do denominador, para isso, vamos fazer a seguinte alteração no termo do numerador:

ln ⁡ R 0 - ln ⁡ R i = - ln ⁡ R i - ln ⁡ R 0

Fazendo isso, vamos conseguir cortar esse termo com o do denominador, saca só:

u z R 0 = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R 0 2 - R 0 2 - R i 2 l n   R i - ln ⁡ R 0   × - ln ⁡ R i - ln ⁡ R 0  

u z R 0 = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R 0 2 + R 0 2 - R i 2 l n   R i - ln ⁡ R 0 ln ⁡ R i - ln ⁡ R 0  

E agora, é só cortar...

u z R 0 = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R 0 2 + R 0 2 - R i 2

Logo:

u z R 0 = 0

E a segunda condição de contorno, em r = R i , vai nos dar:

u z R i = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R i 2 + R 0 2 - R i 2 l n   R i R 0   l n   R i R i

Aqui, temos que ln ⁡ R i R i = ln ⁡ 1 = 0 , portanto:

u z R i = 1 4 μ ∆ p L R i 2 - R i 2 + 0

Então:

u z R i = 0

Logo, a condição de não deslizamento é satisfeita pela equação.

Passo 2

A localização na qual a tensão é nula é dada por:

τ = μ d u d r

Como a tensão é nula, temos que:

τ = 0

E como μ é uma constante, vamos ter:

d u d r = 0

Precisamos agora encontrar d u d r , usando a equação do passo 1, certo?

d u d r 1 4 μ ∆ p L R i 2 - r 2 - R 0 2 - R i 2 l n   R i R 0   l n   r R i     = 0

Show! Vamos então derivar ela:

1 4 μ ∆ p L ⋅ - 2 r - R 0 2 - R i 2 l n   R i R 0   ⋅ 1 r = 0

Substituindo então os dados que nós temos:

1 4 ⋅ 5 125000 2 ⋅ - 2 r - 0,025 2 - 0,005 2 l n   0,005 0,025   ⋅ 1 r = 0

Assim, teremos que o ponto onde a tensão de cisalhamento é zero, será em:

r = 13,7 m m

Passo 3

Agora partiu determinar as forças! Para isso, devemos substituir os valores na expressão:

F = τ × A

Substituindo as variáveis, teremos que a força viscosa atuando na superfície externa é:

F 0 =   - 172   N

E que a força viscosa atuando na superfície interna é:

F i = 63,4   N

Podemos notar então que F 0 - F i = - 236   e ∆ p   π   ( R 0 2 - R i 2 ) = 236   N . Logo, a pressão equilibra as forças de viscosidade.

Show de bolinhas!

Resposta

r = 13,7   m m

F 0 = - 172   N

F i = 63,4   N

Podemos notar que F 0 - F i = - 236   e ∆ p   π   ( R 0 2 - R i 2 ) = 236   N . Logo, a pressão equilibra as forças de viscosidade.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que é um fluido newtoniano? A água é um fluido newtoniano?
Água sob pressão de 1 atm e 20°C é comprimida isotermicamente para a pressão de 800 atm. Determine o aumento da densidade da água. Suponha que a compressibilidade isotérmica da água seja 4,80 X 10-5 a
Refrigerante saturado-134a líquido a 10°C é esfriado para 0°C a pressão constante. Usando dados de coeficiente de expansão de volume, determine a mudança na densidade do refrigerante.Primeiro de tudo
Água a 15°C e pressão de 1 atm é aquecida para 100°C sob pressão constante. Usando dados de coeficiente de expansão de volume, determine a mudança na densidade da água.Primeiro de tudo vamos catar as
O que é viscosidade? O que causa nos líquidos e gases? Os líquidos ou gases tem viscosidade dinâmica maior?