O potencial de velocidade para um dado escoamento bidimensional é

ϕ = 5 3 x 3 - 5 x y 2

Mostre que a equação de continuidade é satisfeita e determine a função de corrente correspondente.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva a função potencial de velocidade ( ϕ ) para o escoamento bidimensional.

ϕ = 5 3 x 3 - 5 x y 2

Aqui, as coordenadas retangulares são x e y .

Escreva a relação para satisfazer a equação de continuidade.

∇ 2 ϕ = 0

∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = 0

Passo 2

Diferencie a função potencial em relação a x .

∂ ϕ ∂ x = 5 x 2 + 5 y 2 … … 1

∂ 2 ϕ ∂ x 2 = 10 x … … 2

Diferencie a função potencial em relação a y .

∂ ϕ ∂ y = - 10 x y

∂ 2 ϕ ∂ y 2 = - 10 x … … . 3

Adicione as equações (2) e (3)

∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = 10 x - 10 x = 0

Portanto, a função potencial dada satisfaz a equação de continuidade.

Passo 3

Determine a função de fluxo ( ψ ).

∂ ϕ ∂ x = - v x

Aqui, o componente de velocidade ao longo da direção x é v x .

Substitua 5 x 2 + 5 y 2 por ∂ ϕ ∂ x da equação (1).

5 x 2 + 5 y 2 = - v x

v x = - 5 x 2 + 5 y 2

Passo 4

Escreva a relação da função stream em termos de velocidade na direção x .

∂ ψ ∂ y = v x

Substitua - 5 x 2 + 5 y 2 por v x .

∂ ψ ∂ y = - 5 x 2 + 5 y 2

Integre a equação para encontrar a função de fluxo.

∂ ψ = - ∫ 5 x 2 + 5 y 2 ∂ y

ψ = - 5 x 2 y + 5 3 y 3 + C

Aqui, a constante de integração é C .

Portanto, os valores correspondentes da função de fluxo são - 5 x 2 y + 5 3 y 3 + C .

Resposta

- 5 x 2 y + 5 3 y 3 + C