Enunciado

Projete um experimento para medir a viscosidade de líquidos usando um funil vertical com um reservatório cilíndrico de altura h e uma seção de escoamento estreita de diâmetro D e comprimento L. Fazendo hipóteses apropriadas, deduza uma expressão para viscosidade em função de quantidades facilmente mensuráveis tais como densidade e vazão volumétrica.

Passo 1

Bora lá então primeiro desenhar um esqueminha desse viscosimetro!

A viscosidade ( μ ) é nada mais nada menos do que a resistência que um líquido tem de escoar. Certo?

Desenhamos um esqueminha onde um fluido qualquer é colocado em uma espécie de funil e escoa durante um tempo t em uma secção tubular abaixo do funil de raio R e comprimento L . Esse fluido é acumulado em um recipiente de volume V .

Antes de mas nada precisamos estabelecer algumas hipóteses:

  • fluido é newtoniano
  • Escoamento laminar
  • Temperatura do experimento constante

Sabendo disso, podemos começar! Sem esquecer que a viscosidade será determinada para a temperatura ambiente!

Passo 2

A viscosidade determina o quanto um líquido se deforma sob uma tensão de cisalhamento τ

τ = μ × d v d r

A tensão de cisalhamento também pode ser dada a partir da força F que o fludo faz na área das paredes do tubo, A .

τ = F A

A área do tubo pode ser dada por:

A = 2 π R L

A força, F , também é dada pela seguinte equação:

F = m × g

Substituindo:

m × g 2 π R L = μ d v d r

Onde m é a massa de fluido presente no tubo abaixo do funil em um tempo t e

Pra a gente descobrir a massa, vamos fazer um balanço de massa. A vazão mássica de entrada ( m e ˙ ) é a vazão mássica que entra é a vazão mássica no ponto 1 e não existe vazão mássica de saida, já que o fluido fica confinado no recipiente. Escrevendo o balanço de massa, temos:

m e ˙ = d m A d t

Jogando o d t para o outro lado e integrando os dois lados, temos:

∫ 0 t m e ˙   d t = ∫ 0 m d m A

Resolvendo a integral:

m e ˙ × t = m A

Porém a massa que a gente quer é a massa presente em toda a área do tubo abaixo do funil, para isso fazemos:

m = m A × L

Substituindo m na nossa equação original:

m e ˙ × t × L × g 2 π R L = μ d v d r

m e ˙   também é dado por:

m e ˙ = ρ v A

Onde ρ é a viscosidade do fluido, v é a velocidade que passa pela área de secção transversal do tubo, A . A área pode ser escrita como:

A = π R 2

Substituindo na equação original :

ρ v π R 2 × t × L × g 2 π R L = μ d v d r

Arrumando: ρ v R × t × g 2 = μ d v d r

Passo 3

Agora precisamos integrar!!!!

Passando d r para o outro lado:

ρ R t g 2 d r = μ 1 v   d v

Integrando dos dois lados:

∫ 0 R ρ R t g 2   d r = ∫ v 0 μ 1 v   d v

Resolvendo a integral:

ρ R 2 t g 2   = - μ ln ⁡ v

Agora essa velocidade a gente pode determinar, usando a vazão volumétrica:

V ˙ = V t

Onde V é o volume de fluido depositado no reservatório cilindrico e t é o tempo total de escoamento. Outra forma de determinar a vazão volumétrica é:

V ˙ = v × A

Onde v é a velocidade do fluido e A é a área de secção transversal do tubo por onde o fluido passa. Igualando e isolando v , temos:

v = V π R 2 t

Agora substituindo a velocidade na equação anterior:

ρ R 2 t g 2   = - μ ln ⁡ V π R 2 t

Arrumando e isolando μ :

μ = ρ R 2 t g 2   - ln ⁡ V π R 2 t

Arrumando:

μ = ρ R 2 t g 2 × 1 ln ⁡ t V π R 2

Prontinho!!!

Resposta

μ = ρ R 2 t g 2 × 1 ln ⁡ t V π R 2

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