Enunciado

Projete um sistema de tubulação para o fornecimento da água de uma turbina, a partir de um reservatório na montanha. O reservatório está localizado a 320 m acima do local da turbina. A eficiência da turbina é 83%, e ela deve produzir 30 kW de potência mecânica. Defina o mínimo tamanho padrão requerido para o tubo de suprimento de água para a turbina e a vazão volumétrica de água requerida. Discuta os efeitos de eficiência da turbina, rugosidade do tubo e instalação de um difusor na saída da turbina sobre o desempenho da instalação.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício escrevendo a perda de carga para o sistema, pois é a partir dela que vamos encontrar o diâmetro da tubulação, então, temos:

H 1 = h 1 g = f L V 2 2 g D

Conforme vimos no exemplo 10.14 dessa seção, a perda de carga para o sistema na potência máxima é dada por:

h 1 = g H 3

E, de acordo com a figura 10.40 a seguir, vamos adotar L = 2 H e f = 0,02 para realizar nossos cálculos.

Então, substituindo os valores de h 1 e L na equação para a perda de carga, temos:

h 1 g = f L V 2 2 g D → g H 3 g = f 2 H V 2 2 g D → H 3 = f H V 2 g D

E, isolando a velocidade nessa expressão, temos:

V = g D 3 f

Passo 2

Agora, sabemos que a vazão do sistema pode ser escrita como:

Q = V A = V π D 2 4

E que a potência hidráulica disponível é:

P h = ρ Q V 2 2

E, por sua vez, a potência mecânica produzida será:

P m = η P h

Substituindo a expressão para a potência hidráulica nessa última equação, temos:

P m = η ρ Q V 2 2

Agora vamos substituir a expressão para a vazão nessa equação:

P m = η ρ V 2 2 V π D 2 4 → P m = η π ρ V 3 D 2 8

E, por fim, vamos substituir a expressão encontrada para a velocidade no passo 1, então, a equação se torna:

P m = η π ρ D 2 8 g D 3 f 3 → P m = η π ρ 8 g 3 f 3 D 7 2

Passo 3

Agora como temos a equação da potência mecânica em função do diâmetro e de outros parâmetros conhecidos, vamos substituir os valores conhecidos, ficando com:

P m = 0,83 π 999 8 9,81 3 0,02 3 D 7 2 → P m = 680738,17 D 7 2

Então nós vamos plotar esse gráfico e verificar para qual diâmetro D o sistema atende à potência mecânica de 30 kW. O gráfico dessa função será:

Então, a partir do gráfico, podemos ver que a potência de 30 kW será atingida para um diâmetro de tubulação de:

D ≅ 0,41   m

Resposta

D ≅ 0,41   m

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