Enunciado

Repita o Prob. 8-91 para um tubo feito de cobre k = 386   W / m ⋅ K em vez de ferro fundido.

Passo 1

Dados fornecidos:

Temperatura de entrada de água: T i = 90 ℃  

Temperatura ambiente: T ∞ = 10 ℃

Temperatura das paredes circundantes: T = 10 ℃

Comprimento do tubo: L = 15   m

Condutividade térmica do cobre: k i = 386   W / m ⋅ K  

Diâmetro interno do tubo: D i = 4   c m = 0,04   m

Diâmetro externo do tubo: D o = 4,6   c m = 0,046   m  

Velocidade média: V m é d i a = 1,2   m / s

Emissividade da superfície do tubo: ε = 0,7

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h o = 12   W / m 2 ⋅ K

Passo 2

Como o tubo não é muito comprido, vamos assumir que a temperatura média da água é  90 ℃ . Verificaremos essa suposição mais tarde.

Agora, vamos consultar a tabela A-9, 'Propriedades da água saturada' para obter algumas propriedades da água à temperatura média de  90 ℃ .

Densidade: ρ = 965,3   k g / m 3  

Calor específico: c p = 4206   J / k g ⋅ K  

Condutividade térmica: k = 0,675   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,315 × 10 - 3   k g / m ⋅ K  

Número Prandtl: P r = 1,96  

Passo 3

a) Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número de Reynolds usando a seguinte expressão:

R e = ρ V m é d i a D i μ

Aqui, V m é d i a é a velocidade média do fluido e D i o diâmetro interno do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

R e = 965,3   k g / m 3 × 1,2   m / s × 0,04   m 0,315 × 10 - 3   k g / m ⋅ K  

R e = 147093,33

Como o número de Reynolds é maior que 10.000  o fluxo é turbulento.

Passo 4

Vamos agora calcular os comprimentos de entrada neste caso. Assim temos:

L h ≈ L t

= 10 D

= 10 × 0,04   m

= 0,4   m

Como o comprimento da entrada é muito menor que o comprimento especificado do tubo. Portanto, é um fluxo turbulento totalmente desenvolvido em todo o tubo.

Podemos encontrar no diagrama de Moody Figura A-20, a rugosidade do tubo de ferro fundido.

ε = 0 , 0015   m m = 1,5 × 10 - 6   m

Podemos calcuar o fator de atrito usando a seguinte expreção:

1 f = - 1,8 log ⁡ 6,9 R e + ε / D 3,7 1,11

1 f = - 1,8 log ⁡ 6,9 147093,33 + 1,5 × 10 - 6   m / 0,04   m 3,7 1,11

1 f = 7,7455

f = 1 7,7455 2

f = 0,016669

Passo 5

Agora, podemos calcular o número de Nusselt usando expressão de Chilton-Colburn.

N u = 0,125 f R e P r 1 / 3

Substituindo os termos da equação pelos dados coletados e calculados, temos:

N u = 0,125 × 0,016669 × 147093,33 × 1,96 1 / 3

N u = 383,55

Podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção usando a relação para o número de Nusselt.

N u = h D k

h = k N u D

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados e calculados, temos:

h = 0,675   W / m ⋅ K   × 383,55 0,04   m

h = 6472,48   W / m 2 ⋅ K

Temos que o coeficiente de transferência de calor por convecção dentro do tubo é muito superior ao coeficiente de transferência de calor por convecção no exterior de 12   W / m 2 ⋅ K . Portanto, a resistência térmica da convecção no interior do tubo é insignificante e, portanto, a temperatura da superfície interna do tubo pode ser considerada igual à temperatura da água. Além disso, esperamos que o tubo seja quase isotérmico, uma vez que é feito de metal fino (verificamos isso mais tarde). Então a taxa de perda de calor do tubo será a soma da convecção e radiação da superfície externa a uma temperatura de 90 ℃ .

Passo 6

Agora, vamos calcular a resistência térmica dentro do tubo usando a seguinte expressão:

R = ln ⁡ D o / D i   2 π k i L

Aqui,  D o é o diâmetro externo do tubo,  D i é o diâmetro interno do tubo,  k i é a condutividade térmica do tubo e  L  é o comprimento do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

R = ln ⁡ 0,04 6   m / 0,04   m   2 × π × 386   W / m ⋅ K × 15   m

R = 3,8417 × 10 - 6   K / W

Como a resistência térmica no interior do tubo é muito pequena, podemos dizer que a temperatura externa e interna será quase igual. Isso vai de acordo com a suposição feira no passo anterior.

Portanto, a temperatura da superfície do tubo é T s = 90 ℃ = 363   K

Passo 7

Precisamos calcular a área da superfície externa do tubo, pois vamos precisar futuramente. Assim temos:

A s = π D L

Aqui,  A s é a área da superfície externa do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

A s = π × 0,046   m × 15   m

A s = 2,168   m 2

Vamos calcular também a área da seção transversal do tubo.

A c = π 4 D 2

Aqui, A c é a área da seção transversal do tubo, D  é o diâmetro interno do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

A c = π 4 0,04   m 2

A c = 1,256 × 10 - 3   m 2

Também vamos calcular a vazão mássica.

m ˙ = ρ A c V m é d i a

Aqui  m ˙ é a vazão mássica. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

m ˙ = 965,3   k g / m 3 × 1,256 × 10 - 3   m 2 × 1,2   m / s

m ˙ = 1,455   k g / s

Passo 8

Agora, podemos calcular a taxa total de perda de calor da água usando a seguinte relação:

Q ˙ t o t a l = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d  

Onde

Q ˙ c o n v = h o A s T s - T ∞

e

Q ˙ r a d = ε A s σ T s 4 - T ∞ 4

Aqui,  h o é o coeficiente de transferência de calor convectivo da superfície externa,  ε é a emissividade, σ é a é a constante de Boltzmann e T ∞ é a temperatura circundante. Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

Q ˙ r a d = 0,7 × 2,168   m 2 × 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 × 363   K 4 - 283   K 4

Q ˙ r a d = 942,12   W

Q ˙ c o n v = 12   W / m 2 ⋅ K × 2,168   m 2 × 363   K - 283   K

Q ˙ c o n v = 2081,28   W

Q ˙ t o t a l = 2081,28   W + 942,12   W

Q ˙ t o t a l = 3023,4   W

Assim, a taxa total de perda de calor da água é  3023,4   W .

Passo 9

b) Podemos calcular a temperatura de saída da água aplicando a equação do balanço energético.

T r a n s f e r ê n c i a   d e   c a l o r   o u   p e r d a   =   g a n h o   d e   c a l o r   d a   á g u a  

Q ˙ t o t a l = m ˙ c p ( T i - T e )

Aqui  T e é a temperatura média de saída do tubo. Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

3023,4   W = 1,455   k g / s × 4206   J / k g ⋅ K   ( 90 ℃ - T e )

T e = 89,51 ℃

Assim, a temperatura de saída da água é  89,51 ℃ .

Além disso, nossa temperatura média assumida é correta, pois não há muita diferença entre a temperatura de entrada e saída.

Resposta

a) Q ˙ t o t a l = 3023,4   W

b) T e = 89,51 ℃

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