Enunciado

Repita o problema 9.60, usando a expressão do perfil de velocidade de potência 1 / 8 .

Passo 1

Ele manda a gente usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Mas ele também fala que:

- gradiente de pressão zero: U = c o n s t a n t e , e implica que:

τ w ρ = d U 2 θ d x

- perfil de velocidade de potência 1 / 8 : u U = y δ 1 8

Precisamos achar expressões para C f e y δ com essas informações aí. Bora!

Passo 2

Vamos aproximar o cisalhamento na parede por essa equação:

τ w = 0,0233 ρ U 2 μ ρ U δ 1 4

Substituindo isso na equação integral:

τ w ρ = d U 2 θ d x

0,0233 μ ρ U δ 1 4 = d θ d x

Passo 3

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 8 1 - y δ 1 8 d y = ∫ o δ y δ 1 8 - y δ 2 8 d y = 4 45 δ

Aí substituindo na nossa equação:

0,0233 μ ρ U δ 1 4 = 4 45 d δ d x

Passo 4

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

δ 1 4 d δ = 0,2621 μ ρ U 1 4 d x

∫ δ 1 4 d δ = ∫ 0,2621 μ ρ U 1 4 d x ∴ 4 5 δ 5 4 = 0,2621 μ ρ U δ 1 4 x + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

4 5 δ 5 4 = 0,2621 μ ρ U 1 4 x

Isolando δ e dividindo os dois lados por x :

δ = 0,3277 x ⋅ μ ρ U 1 4 4 5 = 0,3277 4 ⋅ x 4 ⋅ μ ρ U 1 5

𝛿𝑥=0,4096 R 𝑒𝑥15

δ x = 0,4096 R e x 1 5

Achamos a primeira expressão!

Passo 5

Para achar uma expressão para C f vamos usar:

c f = τ w 1 2 ρ U 2 = 0,0233 ρ U 2 μ ρ U δ 1 4 1 2 ρ U 2

δ x = 0,4096 R e x 1 5

Substituindo uma na outra:

c f = 0,0466 μ R e x 1 5 ρ U x ⋅ 0,4096 1 4 = 0,0582 R e x - 1 R e x 1 5 1 4

c f = 0,0582 R e x 1 5

Comparando os resultado para o caso com potência 1 / 7 , vemos que os valores ficaram próximos, e continuamos no formato:

c f = c o n s t a n t e R e x 1 5

Resposta

δ x = 0,4096 R e x 1 5

c f = 0,0582 R e x 1 5

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