Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensionais incompressíveis?

a. u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y   ;       v = x 3 + x ( y 2 - 2 y )

b. u = 2 x y - x 2 + y   ;                 v = 2 x y - y 2 + x 2

c. u = x t + 2 y   ;                                       v = x t 2 - y t

d. u = x + 2 y x t   ;                           v =   - ( 2 x + y ) y t

Passo 1

Olá, tudo bem? Ficou com dúvida nesse exercício? Vem que eu te ajudo.

A primeira coisa que é necessário ter em mente para resolver esse exercício é que foram listados diferentes campos de velocidade e precisamos saber se esses campos representam escoamentos bidimensionais incompressíveis ou não.

Assim, precisamos nos lembrar que campos de velocidade bidimensionais são campos que são descritos em apenas duas dimensões ( x e y ). Isso significa que a velocidade é uma função na forma:

v → = v → x ,   y

Outra coisa importante que precisamos nos lembrar é o que um fluido incompreensível é aquele cuja a densidade permanece constante, ou seja, sua variação no tempo é igual a zero. Matematicamente, isso quer dizer:

∂ ρ ∂ t = 0

Passo 2

Tendo isso em mente, para resolver esse problema precisamos satisfazer a equação da continuidade, que é uma forma diferencial da lei da conservação de massa para um campo de velocidades V → ( x ,   y ,   z ) :

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = ∇ ∙ V → = 0

Como estamos considerando um escoamento incompreensível, onde ρ = c o n s t a n t e , a densidade não é função nem das coordenadas espaciais ( x , y , z ), nem do tempo ( t ) e a equação da continuidade pode ser simplificada.

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Nós também queremos saber se os campos de escoamento dados na questão são bidimensionais, para isso ∂ w ∂ z = 0 e podemos simplificar ainda mais a equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Então ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 é o nosso critério para definir se os conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensionais incompressíveis. Vamos lá!

Passo 3

a. u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y   ;       v = x 3 + x ( y 2 - 2 y )

Precisamos encontrar as derivadas parciais desse conjunto de equações e ver se elas batem com nosso critério ( ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 ).

Derivando u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y   em relação a x , tratamos y como constante, e temos:

∂ u ∂ x = 4 x - 2 x y

Derivando agora v = x 3 + x ( y 2 - 2 y ) em relação y , tratamos x como constante, e temos:

∂ v ∂ y = 2 y x - 2 x

Somando as duas derivadas, vamos verificar se o resultado é zero:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 4 x - 2 x y + 2 y x - 2 x

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 x ≠ 0

Portanto, não atende ao nosso critério e o escoamento não pode ser considerado incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ).

Passo 4

u = 2 x y - x 2 + y   ;                 v = 2 x y - y 2 + x 2

Da mesma forma que na letra a), vamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e a y e verificar se essa soma é igual a zero ou igual a uma constante.

Derivando u = 2 x y - x 2 + y   em relação a x , temos:

∂ u ∂ x = 2 y - 2 x

Derivando agora   v = 2 x y - y 2 + x 2 em relação y , temos:

∂ v ∂ y = 2 x - 2 y

Somando as duas derivadas:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 y - 2 x + 2 x - 2 y

Portanto,

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Isso atende ao nosso critério e o escoamento pode ser considerado um escoamento bidimensional e incompressível.

Passo 5

u = x t + 2 y   ;                                       v = x t 2 - y t

Vamos conferir de novo se ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 .

Derivando u = x t + 2 y em relação a x ( t é uma constante qualquer):

∂ u ∂ x = t + 0 = t

E derivando v = x t 2 - y t em relação a y :

∂ v ∂ y = 0 - t = - t

Portanto,

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = t - t

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Então, é possível que o campo formado pelas equações seja bidimensional incompressível.

Passo 6

u = x + 2 y x t   ;                           v =   - ( 2 x + y ) y t

Vamos ao nosso último conjunto de equações.

Calculando nossa derivada de u em relação a x e considerando y e t como constantes. Primeiro vamos reescrever u   para ficar mais fácil de calcular a derivada:

u = x 2 t + 2 y x t

Então,

∂ u ∂ x = 2 x t + 2 y t

Também podemos reescrever v usando a propriedade distributiva (multiplicando termo a termo):

v = - 2 x y t - y 2 t

E sua derivada em relação a y :

∂ v ∂ y = - 2 x t - 2 y t

Somando as duas derivadas:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = ( 2 x t + 2 y t ) + ( - 2 x t - 2 y t )

Portanto,

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Então atendemos o nosso critério mais uma vez e esse campo pode ser considerado bidimensional e incompressível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)