Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensionais incompressíveis?
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Olá, tudo bem? Ficou com dúvida nesse exercício? Vem que eu te ajudo.
A primeira coisa que é necessário ter em mente para resolver esse exercício é que foram listados diferentes campos de velocidade e precisamos saber se esses campos representam escoamentos bidimensionais incompressíveis ou não.
Assim, precisamos nos lembrar que campos de velocidade bidimensionais são campos que são descritos em apenas duas dimensões ( e ). Isso significa que a velocidade é uma função na forma:
Outra coisa importante que precisamos nos lembrar é o que um fluido incompreensível é aquele cuja a densidade permanece constante, ou seja, sua variação no tempo é igual a zero. Matematicamente, isso quer dizer:
Passo 2
Tendo isso em mente, para resolver esse problema precisamos satisfazer a equação da continuidade, que é uma forma diferencial da lei da conservação de massa para um campo de velocidades :
Como estamos considerando um escoamento incompreensível, onde , a densidade não é função nem das coordenadas espaciais (, , ), nem do tempo () e a equação da continuidade pode ser simplificada.
![]()
Nós também queremos saber se os campos de escoamento dados na questão são bidimensionais, para isso e podemos simplificar ainda mais a equação:
![]()
Então é o nosso critério para definir se os conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensionais incompressíveis. Vamos lá!
Passo 3
a.
Precisamos encontrar as derivadas parciais desse conjunto de equações e ver se elas batem com nosso critério ().
Derivando em relação a , tratamos como constante, e temos:
Derivando agora em relação , tratamos como constante, e temos:
Somando as duas derivadas, vamos verificar se o resultado é zero:
Portanto, não atende ao nosso critério e o escoamento não pode ser considerado incompressível ().
Passo 4
Da mesma forma que na letra a), vamos encontrar as derivadas parciais em relação a e a e verificar se essa soma é igual a zero ou igual a uma constante.
Derivando em relação a , temos:
Derivando agora em relação , temos:
Somando as duas derivadas:
Portanto,
Isso atende ao nosso critério e o escoamento pode ser considerado um escoamento bidimensional e incompressível.
Passo 5
Vamos conferir de novo se .
Derivando em relação a ( é uma constante qualquer):
E derivando em relação a
Portanto,
Então, é possível que o campo formado pelas equações seja bidimensional incompressível.
Passo 6
Vamos ao nosso último conjunto de equações.
Calculando nossa derivada de em relação a e considerando e como constantes. Primeiro vamos reescrever para ficar mais fácil de calcular a derivada:
Então,
Também podemos reescrever usando a propriedade distributiva (multiplicando termo a termo):
E sua derivada em relação a :
Somando as duas derivadas:
Portanto,
Então atendemos o nosso critério mais uma vez e esse campo pode ser considerado bidimensional e incompressível.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)