Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?
Passo 1
Olá, tudo bem? Ficou com dúvida nesse exercício? Vem que eu te ajudo.
A questão nos deu as componentes de um campo de velocidades . Esse campo é uma função das coordenadas espaciais , , e de uma coordenada temporal , certo? Então ele pode ser descrito dessa forma:
Essa é a nossa equação básica da continuidade. O representa a densidade desse fluido.
Dito isto, precisamos ter em mente que a questão quer saber se os campos de velocidade, que são dados por esses componentes , e formam um escoamento tridimensional (em três dimensões – , , ) e incompressível.
Para que o escoamento seja incompressível, a densidade precisa ser constante, então ela não varia com o tempo (), nem no espaço, e aí nós podemos simplificar nossa equação da continuidade na forma:
Pronto, agora podemos resolver nossa questão, verificando se as equações para , e formam um campo de velocidades que satisfaça essa equação, ou seja, se a soma de suas derivadas parciais é igual a zero. Vamos ver!
Passo 2
Vamos então calcular as derivadas parciais para cada componente separadamente.
Para , em relação a , temos
Para , temos
Calculando agora a derivada parcial de em relação a :
Agora podemos somar as componentes e verificar se é o resultado é constante.
Portanto, como não conseguimos satisfazer nosso critério, o campo não pode ser dito incompressível.
Passo 3
Vamos verificar novamente se esse conjunto de equações, que forma um campo de velocidades, pode ser considerado tridimensional incompressível. Para isso, vamos calcular suas derivadas parciais.
Derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Agora vamos verificar se a soma desses resultados é constante:
Portanto, novamente as equações atendem ao critério, onde é é constante, e temos um escoamento incompressível.
Passo 4
Vamos calcular suas derivadas parciais.
Para , derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a :
E agora derivando em relação a :
Somando esses resultados:
É igual a zero, então atendemos ao nosso critério e temos de novo um escoamento tridimensional incompressível.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)