Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?

  1. u = y 2 + 2 x z ;                         v = - 2 y z + x 2 y z ;               w = 1 2 x 2 z 2 + x 3 y 4
  2. u = x y z t ;                                           v = - x y z t 2 ;                                   w = z 2 2 ( x t 2 - y t )
  3. u = x 2 + y + z 2 ;               v = x - y + z ;                             w = - 2 x z + y 2 + z

Passo 1

Olá, tudo bem? Ficou com dúvida nesse exercício? Vem que eu te ajudo.

A questão nos deu as componentes de um campo de velocidades V → . Esse campo é uma função das coordenadas espaciais x , y , z e de uma coordenada temporal t , certo? Então ele pode ser descrito dessa forma:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = ∇ ∙ V →

Essa é a nossa equação básica da continuidade. O ρ representa a densidade desse fluido.

Dito isto, precisamos ter em mente que a questão quer saber se os campos de velocidade, que são dados por esses componentes u , v e w formam um escoamento tridimensional (em três dimensões – x , y , z ) e incompressível.

Para que o escoamento seja incompressível, a densidade ρ precisa ser constante, então ela não varia com o tempo ( ∂ ρ ∂ t = 0 ), nem no espaço, e aí nós podemos simplificar nossa equação da continuidade na forma:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Pronto, agora podemos resolver nossa questão, verificando se as equações para u , v e w formam um campo de velocidades que satisfaça essa equação, ou seja, se a soma de suas derivadas parciais é igual a zero. Vamos ver!

Passo 2

  1. u = y 2 + 2 x z ;                         v = - 2 y z + x 2 y z ;               w = 1 2 x 2 z 2 + x 3 y 4
  2. Vamos então calcular as derivadas parciais para cada componente separadamente.

    Para u = y 2 + 2 x z , em relação a x , temos

    ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x y 2 + 2 x z

    ∂ u ∂ x = 0 + 2 z = 2 z

    Para v = - 2 y z + x 2 y z , temos

    ∂ v ∂ y = ∂ ∂ y ( - 2 y z + x 2 y z )

    ∂ v ∂ y = - 2 z + x 2 z

    Calculando agora a derivada parcial de w = 1 2 x 2 z 2 + x 3 y 4 em relação a z :

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z 1 2 x 2 z 2 + x 3 y 4

    ∂ w ∂ z = x 2 z + 0 = x 2 z

    Agora podemos somar as componentes e verificar se é o resultado é constante.

    ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 2 z - 2 z + x 2 z + x 2 z

    →             ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 2 x 2 z

    Portanto, como não conseguimos satisfazer nosso critério, o campo não pode ser dito incompressível.

    Passo 3

  3. u = x y z t ;                                           v = - x y z t 2 ;                                   w = z 2 2 ( x t 2 - y t )
  4. Vamos verificar novamente se esse conjunto de equações, que forma um campo de velocidades, pode ser considerado tridimensional incompressível. Para isso, vamos calcular suas derivadas parciais.

    Derivando u = x y z t em relação a x , temos:

    ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x x y z t

    ∂ u ∂ x = y z t

    Derivando v = - x y z t 2 em relação a y :

    ∂ v ∂ y = ∂ ∂ y - x y z t 2

    ∂ v ∂ y = - x z t 2

    Derivando w = z 2 2 ( x t 2 - y t ) em relação a z :

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z z 2 2 ( x t 2 - y t )

    ∂ w ∂ z = z ( x t 2 - y t )

    Agora vamos verificar se a soma desses resultados é constante:

    ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = y z t - x z t 2 + z ( x t 2 - y t )

    ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = y z t - x z t 2 + x z t 2 - y z t

    ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

    Portanto, novamente as equações atendem ao critério, onde é ρ é constante, e temos um escoamento incompressível.

    Passo 4

  5. u = x 2 + y + z 2 ;               v = x - y + z ;                             w = - 2 x z + y 2 + z

Vamos calcular suas derivadas parciais.

Para u = x 2 + y + z 2 , derivando em relação a x , temos:

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x ( x 2 + y + z 2 )

∂ u ∂ x = 2 x

Derivando v = x - y + z em relação a y :

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y ( x - y + z )

∂ v ∂ y = - 1

E agora derivando w = - 2 x z + y 2 + z em relação a z :

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z - 2 x z + y 2 + z

∂ w ∂ z = - 2 x + 1

Somando esses resultados:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 2 x - 1 - 2 x + 1

→             ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

É igual a zero, então atendemos ao nosso critério e temos de novo um escoamento tridimensional incompressível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)