Enunciado

Nós sempre observamos a formação de escoamentos circulares (vórtices) nas pontas das asas dos aviões quando estes estão voando sob certas condições, os escoamentos circulares podem ser aproximados pelos campos de velocidade u = - K y / ( x 2 + y 2 )   e v = K x / ( x 2 + y 2 ) , onde K é uma constante definida pelas características do avião considerado. Observe que tanto x como y são medidos a partir do centro dos escoamentos circulares. (a) Mostre que a velocidade nesses escoamentos é inversamente proporcional a distância da origem, V = K / x 2 + y 2 1 / 2   . (b) Prove que as linhas de correntes desses escoamentos são circulares.

Passo 1

Falaaa pessoal, como vocês estão? Bom, bora pra mais uma questão desse assunto!

  1. Lá do problema anterior e dessa situação em geral, a gente tem as seguintes igualdades pras componentes da aceleração:
  2. a n = V 1 2 R = 1 23,2 h 10 = 6,44 h   f t / s 2

    Da ilustração a seguir, notamos que s = R 1 θ   e   h = R 1 + 4 - R 1 cos ⁡ θ .

    Logo, vamos ter:

    a n = 6,44 4 + 10 1 - cos ⁡ θ

    Ou seja:

    a n = ( 90,2 - 64,4 cos ⁡ θ ) → s = 10 θ   f t   u s a n d o   θ   e m   r a d

    Essa igualdade é válida desde que o ângulo esteja entre o zero e seu ângulo máximo, sendo que seu ângulo máximo é igual a θ m a x = 71,6 ° .

    Passo 2

  3. Semelhante ao item anterior temos:

a n = 2 23,2 h 2 0 = 3,22 h   f t / s 2

Da figura abaixo, a gente vai ter as seguintes relações:

h = R 2 sin ⁡ β + 20 ° + 4

s = s c + R 2 β

Logo, teremos que:

s c = 10   θ m a x = 12,5   f t

a n = 3,22 ( 20 sin ⁡ β + 20 ° + 4 )

s = 12,5 + 20 β

Ou seja, e finalmente:

a n = 64,4 sin ⁡ β + 20 + 12,9 )   f t / s 2

Com s = 12,5 + 20 β   d e s d e   q u e   β   e s t e j a   e m   r a d .

Essa igualdade vai estar valida desde que o ângulo fique no intervalo entre 0 e 70°.

Resposta

  1. a n = ( 90,2 - 64,4 cos ⁡ θ ) → s = 10 θ   f t   u s a n d o   θ   e m   r a d
  2. Essa igualdade é válida desde que o ângulo esteja entre o zero e seu ângulo máximo, sendo que seu ângulo máximo é igual a θ m a x = 71,6 ° .

  3. Com s = 12,5 + 20 β   d e s d e   q u e   β   e s t e j a   e m   r a d .

Essa igualdade vai estar valida desde que o ângulo fique no intervalo entre 0 e 70°.