Enunciado

Um sensor, usado para medir a velocidade do ar em um túnel de vento de baixa velocidade, é fabricado com um tubo de alumínio, que fica na posição horizontal, com comprimento L = 100   m m e diâmetro externo D = 8   m m . Resistores de potência são inseridos dentro do tubo estacionário e dissipam P = 1,5   W . A temperatura superficial do tubo é determinada experimentalmente pela medida da radiação emitida pela parte externa do tubo. Para maximizar a emissão desta superfície, a parte externa do tubo é pintada com tinta preta com uma emissividade de ε = 0,95 .

a) Para ar a uma temperatura e a uma velocidade em escoamento cruzado de T ∞ = 25 ° C e V = 0,1   m / s , respectivamente, determine a temperatura superficial do tubo. A temperatura da vizinhança é T v i z = 25 ° C .

Passo 1

Começamos o problema calculando a temperatura de filme do sistema:

T f = T v i z + T ∞ 2

Sendo:

T v i z = 25 ° C ;

T ∞ = 25 ° C .

Temos:

T f = 25 + 25 2

T f = 25 ° C = 298   K ≅ 300   K

Pela Tabela A .   4 obteremos as seguintes propriedades do ar sob a temperatura de filme:

v = 15,89 × 10 - 6   m 2 / s

k = 0,0263   W / m ⋅ K

α = 22,5 × 10 - 6   m 2 / s

β = 1 T f = 0,0033   K - 1

P r = 0,707

Passo 2

Letra a)

Calcularemos a temperatura de superfície pela seguinte fórmula:

P = 1,5 = q c o n d + q r a d

1,5 = π D L h ¯ T s - T ∞ + ε σ T s 4 - T v i z 4

Dados:

D = 8   m m = 0,008   m ;

L = 100   m m = 0,1   m ;

T ∞ = T v i z = 25 ° C = 298   K ;

ε = 0,95 ;

σ = 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 .

Temos:

1,5 = π ⋅ 0,008 ⋅ 0,1 ⋅ h ¯ ⋅ T s - 298 + 0,95 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ T s 4 - 298 4

Isolando h ¯ :

h ¯ = 1 T s - 298 ⋅ 596,83 - 5,39 × 10 - 8 ⋅ T s 4 - 298 4

Passo 3

Calculando R e D :

R e D = V D v

Sendo:

V = 0,1   m / s .

Temos:

R e D = 0,1 ⋅ 0,008 15,89 × 10 - 6

R e D = 50,35

Calculando N u ¯ D ,   F :

N u ¯ D , F = 0,3 + 0,62 R e D 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 4 1 + R e D 282000 5 8 4 5

Substituindo R e D e P r :

N u ¯ D , F = 0,3 + 0,62 ⋅ 50,35 1 2 ⋅ 0,707 1 3 1 + 0,4 0,707 2 3 1 4 1 + 50,35 282000 5 8 4 5

N u ¯ D , F = 3,75

Passo 4

Calcularemos N u ¯ D ,   N pela seguinte equação:

N u ¯ D , N = 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

Mas antes, devemos calcular o número de Rayleigh:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Sendo:

g = 9,8   m / s 2 .

Temos:

R a D = 9,8 ⋅ 0,0033 ⋅ T s - 298 ⋅ 0,008 3 15,89 × 10 - 6 ⋅ ( 22,5 × 10 - 6 )

R a D = 46,31 ( T s - 298 )

Então:

N u ¯ D , N = 0,60 + 0,387 ⋅ 46,31 T s - 298 1 6 1 + 0,559 0,707 9 16 8 27 2

N u ¯ D , N = 0,60 + 0,321 ⋅ 46,31 T s - 298 1 6 2

Passo 5

Sabemos que:

h ¯ = k D N u ¯

Substituindo k e D :

h ¯ = 0,0263   0,008 ⋅ N u ¯

h ¯ = 3,28 ⋅ N u ¯

Como:

N u ¯ 4 = N u ¯ D , F 4 + N u ¯ D , N 4

Então:

N u ¯ = N u ¯ D , F 4 + N u ¯ D , N 4 1 4

Substituindo os termos:

N u ¯ = 3,75 4 + 0,60 + 0,321 ⋅ 46,31 T s - 298 1 6 8 1 4

Assim:

h ¯ = 3,28 ⋅ 3,75 4 + 0,60 + 0,321 ⋅ 46,31 T s - 298 1 6 8 1 4

Passo 6

Igualando as equações obtidas nos Passos 2 e 5:

1 T s - 298 ⋅ 596,83 - 5,39 × 10 - 8 ⋅ T s 4 - 298 4 = 3,28 ⋅ 3,75 4 + 0,60 + 0,321 ⋅ 46,31 T s - 298 1 6 8 1 4

Com auxilio de ferramentas matemáticas obtemos uma temperatura de superfície de:

T s = 328   K = 55 ° C

Resposta

T s = 328   K = 55 ° C

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