Se, no sistema do Problema 5.1, o arraste total sobre o objeto for 800 N/m de comprimento normal à direção de escoamento e as forças friccionais nas paredes forem desprezadas, encontre a diferença de pressão entre as seções de entrada e de saída.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Assumindo a unidade de profundidade da água fluindo através do túnel

Escrevendo o perfil de velocidade na região de saída:

v 2 = v 2 y     0 ≤ y ≤ 1

v 2 = v 2     1 ≤ y ≤ 2

Aplicando a conservação de massa para um escoamento permanente incompressível. A taxa de fluxo de massa na entrada é igual a taxa de vazão mássica na saída

ρ A v e n t = ρ A v s a i

→ ρ v 1 w ⋅ 1 = 2 ∫ 0 1 ρ A v 2 y + ∫ 1 2 ρ A v 2

→ ρ v 1 w ⋅ 1 = 2 ∫ 0 1 ρ v 2 y 1 ⋅   d y + ∫ 1 2 ρ v 2 1 ⋅   d y

Aqui, temos:

1. densidade da água ρ

2. comprimento do túnel w

3. área da seção transversal A

Passo 2

Simplificando a equação e achando a relação entre a velocidade da saída e a velocidade na entrada

v 1 w = 2 v 2 y 2 2 0 1 + y 1 2

→ v 1 w = 2 v 2 1 2 2 - 0 + 2 - 1

→ v 1 w = 2 v 2 3 2

∴ v 2 = v 1 w 3

Passo 3

Escrevendo a força total na direção x

∑ F x = F x + P 1 - P 2 w ⋅ 1

→ ∑ F x = - D + P 1 - P 2 w

Aqui, temos que:

1. força de arrasto D

2. pressões na seção 1 e 2, P 1 e P 2

Achando a mudança no momento:

∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 2 ∫ 0 1 ρ v 2 y 2 d y ⋅ 1 + ∫ 1 2 ρ v 2 2 d y ⋅ 1 - ρ v 1 2 w ⋅ 1

→ ∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 2 ρ v 2 2 y 3 3 0 1 + y 1 2 - ρ v 1 2 w

→ ∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 2 ρ v 2 2 1 3 - 0 + 2 - 1 - ρ v 1 2 w

∴ ∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 2 ρ v 2 2 ⋅ 4 3 - ρ v 1 2 w

Substituindo v 1 w 3 para v 2

∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 8 ρ 3 v 1 w 3 2 - ρ v 1 2 w

→ ∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = 8 ρ v 1 2 w 2 27 - ρ v 1 2 w

∴ ∬ c ,   s v s ρ v - ⋅ n - d A = ρ v 1 2 w 8 w 27 - 1

Passo 4

Aplicando a conservação de momento ao longo do eixo x

∑ F x = ∬ c , s v s ρ v - ⋅ n - d A

Substituindo ∑ F x = - D + P 1 - P 2 e ∬ c , s v s ρ v - ⋅ n - d A = ρ v 1 2 w 8 w 27 - 1 , temos:

- D + P 1 - P 2 = ρ v 1 2 w 8 w 27 - 1

→ P 1 - P 2 w = ρ v 1 2 w 8 w 27 - 1

∴ P 1 - P 2 = ρ v 1 2 8 w 27 - 1 + D w

Passo 5

Convertendo a força de arrasto de N / m para l b / f t usando o fator de conversão

D = 800 N m 1   l b f 4,4482   N 1   m 3,28084   f t

∴ D = 54,81   l b f / f t

Substituindo ρ = 1,94   s l u g s / f t 3 , v 1 = 20   f p s , w = 4   f t e D = 54,81   l b f / f t

P 1 - P 2 = 1,94   s l u g s / f t 3 20   f p s 2 8 4   f t 27 - 1 + 54,81   l b f / f t 4   f t

∴ P 1 - P 2 = 157,4   l b f / f t 2

Convertendo, temos

P 1 - P 2 = 157,4   l b f f t 2 4,44822   N 1   l b f 1   f t 0,3048   m 2

∴ P 1 - P 2 = 7,53   k P a

Resposta

P 1 - P 2 = 7,53   k P a