Enunciado

Substitua as componentes do vetor velocidade dadas no problema 10-44 em uma equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Mostrando todos os seus conhecimentos de álgebra, verifique que a equação de Laplace é válida em uma região irrotacional de escoamento.

Passo 1

UIIII!!! “todos os seus conhecimentos de álgebra” = SOCORRO! Kkkk

Mas vamos ver que é suave aqui!

Para coordenadas cilíndricas a gente tem a equação de Laplace como:

∇ 2 ϕ = 1 r ∂ ∂ r r u r + 1 r 2 ∂ ∂ θ r u θ + ∂ u z ∂ z

Mas sabemos que r NÃO É FUNÇÃO DE θ, certo? Portanto, podemos simplificar essa belezura da seguinte forma:

∇ 2 ϕ = 1 r ∂ ∂ r r u r + 1 r ∂ u θ ∂ θ + ∂ u z ∂ z

A gente consegue perceber que do lado direito vem da nossa linda equação da continuidade em coordenadas cilíndricas, e a gente sabe que pra um um fluido ser incompressível a equação da continuidade deve ser igual a zero.

1 r ∂ ∂ r r u r + 1 r ∂ u θ ∂ θ + ∂ u z ∂ z = 0

∇ 2 ϕ = 0

Resposta

∇ 2 ϕ = 0

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