Um tipo comum de viscosímetro para líquidos consiste em um reservatório relativamente grande, com um tubo de saída muito delgado. A vazão de saída é determinada pelo tempo de queda do nível da superfície. Se óleo de densidade constante sai do viscosímetro mostrado a uma vazão de 0,273 cm3/s, qual é a viscosidade cinemática do fluido? O diâmetro do tubo é 0,18 cm.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A figura aqui embaixo mostra o reservatório que o óleo está fluindo pelo tubo

No reservatório o nível de óleo é denotado por 1, a base do reservatório é de onde o escoamento passa para o tubo e é denotado por 2 e a saída é denotada por 3.

Calculando a descarga de velocidade v :

Área do tubo é dada por:

A = π d 2 4 = π 0,18   c m 2 4 = 0,0254   c m 2

A descarga de velocidade é dada por:

v = V ˙ A

Aqui, a taxa de escoamento do óleo do viscosímetro é V ˙ = 0,273   c m 3 / s

v = 0,273   c m 3 / s 0,0254   c m 2 = 10,7   c m / s

→ v = 0,107   m / s

Passo 2

Aplicando a equação de Bernoulli de 1 à 2:

P 2 - P a t m ρ + v 2 2 - v 1 2 2 + g y 2 - y 1 = 0

Aqui, temos:

1. pressão na seção 1 é a pressão atmosférica, P a t m

2. pressão na seção 2, P 2

3. velocidade do escoamento na seção 1, v 1

4. velocidade do escoamento na seção 2, v 2

5. diferença no nível entre a seção 1 e 2, y 2 - y 1

6. densidade do óleo, ρ

7. aceleração da gravidade, g

Assumindo que a velocidade do óleo permanece constante enquanto ele viaja pelo tubo.

Substituindo v 1 = 0 , já que o fluido começa do repouso, e v = v 2

P 2 - P a t m ρ = - v 2 2 - g y 2 - y 1

Passo 3

O escoamento através do tubo, então terá uma perda para atrito.

A perda por atrito é dada por:

h f = Δ P ρ

De acordo com a equação de Hagen-Poiseuille, o gradiente de pressão é dado por:

- d P d x = 32 μ v D 2

Para as condições dadas, podemos reescrever:

Δ P L t = 32 μ v d 2

→ Δ P = 32 μ v L t d 2

Aqui, temos:

1. viscosidade do óleo, μ

2. velocidade do fluido, v

3. diâmetro do tubo, d

4. comprimento do tubo, L t

5, diferença na pressão entre os dois finais do tubo, Δ P

Passo 4

Substituindo o valor de Δ P para obter uma expressão para a perda pelo atrito:

h f = 32 μ v ν L t d 2

Passo 5

Aplicando a equação de Bernoulli de 2 à 3:

P 2 - P a t m ρ + v 3 2 - v 2 2 2 + g y 3 - y 2 - h f = 0

Aqui, temos:

1. pressão na seção 2, P 2

2. pressão na seção 3 é a pressão atmosférica, P a t m

3. velocidade do escoamento na seção 2, v 2

4. velocidade do escoamento na seção 3, v 3

5. diferença no nível entre a seção 2 e 3, y 2 - y 3

6. densidade do óleo, ρ

7. aceleração da gravidade, g

8. perda para atrito, h f

Já que a velocidade do óleo permanece constante pelo escoamento do tubo, então v 2 = v 3

P 2 - P a t m ρ = g y 3 - y 2 + h f

Passo 6

Igualando os valores obtidos no Passo 5 e Passo 2, temos:

g y 3 - y 2 + h f = - v 2 2 - g y 2 - y 1

→ h f - g y 1 - y 3 + v 2 2 = 0

Substituindo o valore de h f

32 v ν   L t d 2 - g y 1 - y 3 + v 3 2 = 0

Passo 7

Obtendo valores de y 1 - y 3 :

y 1 - y 3 = 55   c m + 8   c m = 63   c m = 0,63   m

O comprimento do tubo é:

L t = 55   c m = 0,55   m

O diâmetro do tubo é:

d = 0,18 . c m = 0,0018   m

Passo 8

Substituindo os valores para determinar a viscosidade cinemática do óleo:

32 v 0,107 0,55 0,0018 2 - 9,81 0,63 + 0,107 2 2 = 0

→ v = 6,1745 581234,5679

∴ v = 1,06 ⋅ 10 - 5   m 2 / s

Resposta

v = 1,06 ⋅ 10 - 5   m 2 / s