Uma tubulação de 40 km de comprimento transporta petróleo a uma vazão de 4000 barris por dia. A queda de pressão resultante é 3,45 × 106 Pa. Se uma tubulação paralela de mesmo tamanho for colocada ao longo dos últimos 18 km da primeira tubulação, qual será a nova capacidade dessa rede? O escoamento em ambos os casos é laminar e a queda de pressão permanece 3,45 × 106 Pa.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo a equação Hagen-Poiseuille

- d P d x = 32 \ m u v m e d D 2

Aqui, temos:

1. viscosidade do fluido, μ

2. velocidade média do escoamento, v m e d

3. diâmetro do tubo, D

4. gradiente de pressão, d P / d x

E o sinal negativo representa que a pressão cai ao longo do escoamento

Para essas condições, a equação se torna

Δ P L = 32 μ v m e d D 2

→ Δ P = 32 μ v m e d L D 2

Aqui, temos:

1. diminuição na pressão, Δ P

2. comprimento do único tubo, L

Passo 2

Escrevendo a relação para a velocidade média do escoamento no tubo

v m e d = Q A

Aqui, temos:

1. quantidade de petróleo entregada por dia, Q

2. área da seção transversal do tubo, A

Substituindo v m e d = Q / A

Δ P = 32 μ Q L A D 2 = 32 μ A D 2 Q L

Passo 3

Desenhando o tubo simples que o fluido passa (Caso 1)

Considerando o Caso 1, substituindo L = 40   k m para Δ P

Δ P = 32 μ A D 2 Q 40   k m

Passo 4

Desenhando o tubo simples e paralelo que o fluido passa (Caso 2)

Considerando o caso 2, uma linha paralela de mesmo diâmetro está ao longo dos últimos 18   k m

Para uma combinação de tubo simples e paralelo:

1. comprimento da última porção do tubo, L 2 = 18   k m

2. comprimento da primeira porção do tubo, L 1 = 40   k m - 18   k m = 22   k m

Escrevendo a expressão para a queda de pressão ao longo da primeira porção do tubo simples e paralelo

Δ P 1 = 32 μ A D 2 Q 1 L 1

Aqui, a descarga através da primeira porção é Q 1

Substituindo L 1 = 22   k m

Δ P 1 = 32 μ A D 2 Q 1 22   k m

Passo 5

Escrevendo a expressão para a queda de pressão ao longo do tubo paralelo

Δ P 2 = 32 μ A D 2 Q 2 L 2

Substituindo L 2 = 18   k m

Δ P 2 = 32 μ A D 2 Q 2 18   k m

Aqui, a descarga através do tubo paralelo é Q 2

A descarga através da primeira porção do tubo é igual a soma de descargas dos dois tubos paralelos

Q 1 = Q 2 + Q 2 = 2 Q 2

→ Q 1 2 = Q 2

Passo 6

A queda de pressão em ambos os casos 1 e 2 permanece constante

A queda de pressão relaciona entre ambos os casos

Δ P = Δ P 1 + Δ P 2

Substituindo os valores de Δ P , Δ P 1 e Δ P 2

32 μ A D 2 Q 40 = 32 μ A D 2 Q 1 22 + 32 μ A D 2 Q 2 18

→ 40 Q = 22 Q 1 + 18 Q 2

Passo 7

Substituindo Q 2 = Q 1 / 2

40 Q = 22 Q 1 + 18 Q 1 2 = 22 Q 1 + 9 Q 1 = 31 Q 1

→ Q 1 = 40 31 Q

Substituindo Q = 4000   barris / dia para obter a capacidade

Q 1 = 40 31 4000   b a r r i s / d i a

∴ Q 1 = 5161,3   barris / dia

Resposta

Q 1 = 5161,3   barris / dia