Enunciado

Em unidades típicas dos Estados Unidos, a definição comum de velocidade específica para uma turbina hidráulica é dada pela Eq. 10.13b. Desenvolva uma conversão entre essa definição e outra verdadeiramente adimensional em unidades SI. Avalie a velocidade específica de uma turbina de impulsão, operando a 400 rpm, sob uma altura de carga líquida de 1190 m com 86% de eficiência, quando suprida por jato único de diâmetro 6 mm. Use ambas as unidades, americanas e SI. Estime o diâmetro da roda.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa a se fazer nesse exercício é escrever a relação adimensional para o sistema em unidades típicas dos Estados Unidos, conforme vimos nessa seção, sua equação é:

N S c u = N P 1 2 H 5 4

E as unidades utilizadas são rpm, hp e pés. Agora, para o sistema internacional, temos a seguinte relação para velocidade específica:

N S = ω P 1 2 ρ 1 2 g H 5 4

E as unidades são rad/s, W, kg/m³, m/s² e m.

Passo 2

Agora, para calcular as velocidades específicas, precisamos encontrar a potência produzida no sistema, cuja equação é:

P = η ρ g H Q

Só que nós não temos a vazão, mas o enunciado nos forneceu o diâmetro do jato, então, se encontrarmos a velocidade do jato, encontramos a vazão. Dessa forma, sabemos que a velocidade do jato pode ser escrita como:

V j = 2 g H

Substituindo os valores conhecidos:

V j = 2 ( 9,81 ) ( 1190 ) → V j = 152,8   m / s

Agora, a vazão será dada por:

Q = V j A J = V j π D j 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Q = 152,8 π 0,006 2 4 → Q = 4,32.10 - 3   m 3 / s

Então, retornando a equação da potência apresentada no início desse passo, temos:

P = η ρ g H Q = 0,86 999 9,81 1190 4,32.10 - 3 → P = 43330,7   W

Passo 3

Agora podemos calcular a velocidade específica em unidades do sistema internacional através de:

N S = ω P 1 2 ρ 1 2 g H 5 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

N S = 400 2 π 60 43 330 , 7 1 2 999 1 2 9,81 1190 5 4 → N S = 2,274 . 10 - 3

Agora, precisamos converter os valores para utilizar a equação para o sistema dos Estados Unidos, então:

H = 1190   m = 3904,2   p é s

P = 43330,7   W = 58,11   h p

Então, substituindo os valores conhecidos na equação a seguir, temos:

N S c u = N P 1 2 H 5 4 = 400 58,11 1 2 3904,2 5 4 → N S c u = 98,8.10 - 3

Então o fator de conversão entre os dois sistemas pode ser obtido dividindo um pelo outro, dessa forma, temos:

N S c u N S = 98,8.10 - 3 2,274 . 10 - 3 → N S c u N S = 43,45

Passo 4

Agora, para encontrar o diâmetro do rotor vamos recorrer ao seguinte gráfico apresentado nessa seção:

Nesse caso, como temos uma eficiência de 86%, então temos uma razão entre velocidade da roda e velocidade do jato como sendo:

U V j = 0,46 → U = 0,46 V j

Então, substituindo a velocidade do jato encontrada passo 2, temos:

U = 0,46 152,8 → U = 70,3   m / s

E, sabemos que a velocidade da roda pode ser escrita em função do raio e da velocidade angular, então, temos:

U = ω R → R = U ω = 70,3 400 2 π 60 → R = 1,678   m

Então o diâmetro do rotor será:

D = 2 R = 2 1,678 → D = 3,356   m

Resposta

N S c u N S = 43,45

D = 3,356   m

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