Usando um elemento cilíndrico, mostre que a relação de Stokes da viscosidade resulta nas seguintes componentes da tensão cisalhante:

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Determinando a taxa de tensão cisalhante no plano r - z

Usando a seguinte expressão para determinar a taxa de tensão cisalhante nesse plano

- d ∂ d t = lim Δ t → 0 ⁡ ∂ ​ t + Δ t - ∂ ​ t Δ t

→ - d ∂ d t = - lim Δ z , Δ r , Δ t → 0 ⁡ π 2 - tan - 1 ⁡ v r z + Δ z - v r z Δ z Δ t - tan - 1 ⁡ v z r + Δ r - v z r Δ r Δ t - π 2 Δ t

→ - d ∂ d t = lim Δ z , Δ r → 0 ⁡ v r z + Δ z - v r z Δ z + v z r + Δ r - v z r Δ r

∴ - d ∂ d t = ∂ v r ∂ z + ∂ v z ∂ r

Passo 2

O diagrama mostra a tensão cisalhante no plano r - z

Passo 3

Determinando a tensão cisalhante no elemento

Usando a relação seguinte para determinar a tensão cisalhante no plano r - z

τ z r = τ r z = μ - d ∂ d t

Aqui, a viscosidade do fluido é μ e a taxa de mudança na tensão cisalhante é - d ∂ d t

Substituindo a expressão de - d ∂ d t obtida no final do Passo 1 na equação para τ z r

τ z r = μ ∂ v r ∂ z + ∂ v z ∂ r

Passo 4

Determinando a taxa de tensão cisalhante no plano θ - z

Usando a seguinte expressão para determinar a taxa de tensão cisalhante nesse plano

- d ∂ d t = lim Δ t → 0 ⁡ ∂ ​ t + Δ t - ∂ ​ t Δ t

→ - d ∂ d t = - lim Δ z , Δθ , Δ t → 0 ⁡ π 2 - tan - 1 ⁡ v θ z + Δ z - v θ z Δ z Δ t - tan - 1 ⁡ v z θ + Δ θ - v z θ r Δ θ Δ t - π 2 Δ t

→ - d ∂ d t = lim Δ z , Δθ → 0 ⁡ v θ z + Δ z - v θ z Δ z + v z θ + Δ θ - v z θ r Δ θ

∴ - d ∂ d t = ∂ v θ ∂ z + 1 r ∂ v z ∂ θ

Passo 5

O diagrama mostra a tensão cisalhante no plano θ - z

Passo 6

Determinando a tensão cisalhante no elemento

Usando a relação seguinte para determinar a tensão cisalhante no plano θ - z

τ z θ = τ θ z = μ - d ∂ d t

Aqui, a viscosidade do fluido é μ e a taxa de mudança na tensão cisalhante é - d ∂ d t

Substituindo a expressão de - d ∂ d t obtida no final do Passo 4 na equação para τ z θ

τ z θ = μ ∂ v θ ∂ z + 1 r ∂ v z ∂ θ

Passo 7

Determinando a taxa de tensão cisalhante no plano r - θ

Usando a seguinte expressão para determinar a taxa de tensão cisalhante nesse plano

- d ∂ d t = lim Δ t → 0 ⁡ ∂ ​ t + Δ t - ∂ ​ t Δ t

→ - d ∂ d t = - lim Δ z , Δθ , Δ t → 0 ⁡ π 2 - tan - 1 ⁡ v r θ + Δ θ - v r θ r Δ θ Δ t - tan - 1 ⁡ r v θ r ​ r + Δ r - v θ r ​ r r Δ θ Δ t - π 2 Δ r

→ - d ∂ d t = lim Δ r , Δθ → 0 ⁡ v r θ + Δ θ - v r θ r Δ θ + r v θ r ​ r + Δ r - v θ r ​ r r Δ θ

∴ - d ∂ d t = 1 r ∂ v r ∂ θ + r ∂ v θ ∂ r

Passo 8

O diagrama mostra a tensão cisalhante no plano r - θ

Passo 9

Determinando a tensão cisalhante no elemento

Usando a relação seguinte para determinar a tensão cisalhante no plano r - θ

τ r θ = τ θ r = μ - d ∂ d t

Aqui, a viscosidade do fluido é μ e a taxa de mudança na tensão cisalhante é - d ∂ d t

Substituindo a expressão de - d ∂ d t obtida no final do Passo 7 na equação para τ z θ

τ z θ = μ 1 r ∂ v r ∂ θ + ∂ v θ ∂ r

Resposta

τ z r = μ ∂ v r ∂ z + ∂ v z ∂ r

τ z θ = μ ∂ v θ ∂ z + 1 r ∂ v z ∂ θ

τ z θ = μ 1 r ∂ v r ∂ θ + ∂ v θ ∂ r