Usando o vetor velocidade do problema anterior, determine (a) a equação da linha de corrente passando pelo ponto (2, 1); (b) o volume de escoamento que cruza uma superfície plana conectando os pontos (1, 0) e (2, 2).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) escrevendo a expressão para o vetor velocidade em um fluxo bidimensional

v - = 10 e - x + 7 x e - y

Aqui, os vetores unidade nas direções x e y são e x e e y , respectivamente

Derivando o eixo y com respeito ao eixo x na expressão do vetor velocidade

d y d x = v y v x

→ d y d x = 7 x 10

→ 10 y = 7 x d x

Aqui, os componentes de velocidade nas direções x e y são v x e v y , respectivamente

Passo 2

Integrando em ambos os lados da equação obtida no Passo 1

10 ∫ d y = 7 ∫ x d x

→ 10 y = 7 x 2 2 + c

Aqui, a constante de integração é c

Calculando o calor da constante c no ponto 2 ,   1 da Equação obtida no começo desse passo

Substituindo 2 para x e 1 para y

10 1 = 7 2 2 2 + c

→ 10 = 14 + c

∴ c = - 4

Passo 3

Substituindo o valor encontrado para c na equação para achar a equação da linha de corrente passando pelo ponto 2 ,   1

10 y = 7 x 2 2 + - 4

∴ x 2 - 20 7 y - 8 7 = 0

Passo 4

b) mostrando a superfície do plano conectando os pontos 1 ,   0 e 2 ,   2

Passo 5

Calculando o volume do fluxo que atravessa uma superfície plana conectando os pontos 1 ,   0 e 2 ,   2

v ˙ = v - ⋅ e x d y + v - ⋅ x e y d x

Usando os pontos conectados 1 ,   0 e 2 ,   2   e integrando a equação acima

v ˙ = ∫ 0 2 v - ⋅ e x d y + ∫ 1 2 v - ⋅ e y d x

→ v ˙ = 10 y ​ 0 2 + 7 2 x 2 ​ 1 2

→ v ˙ = 10 2 - 10 0 + 7 2 2 2 - 1 2

∴ v ˙ = 30,5   m / s

Resposta

v ˙ = 30,5   m / s