Use as equações de Navier-Stokes para mostrar que a distribuição de velocidade do escoamento laminar em regime permanente de um fluido descendo pela superfície inclinada é definida por u ρ g sin ⁡ θ / ( 2 μ )   2 h y - y 2 , onde ρ é a densidade do fluido e μ é a sua viscosidade.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Como o fluxo é constante e está apenas ao longo do eixo x , então v = w = 0 . Além disso, consideramos o líquido incompressível. Então a equação da continuidade se reduz a:

∂ ρ ∂ t + ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0  

0 + ρ ∂ u ∂ x + 0 + 0 = 0

∂ u ∂ x = 0

Integrando essa equação em relação a x ,

u = u ( y )

As equações de Navier-Stokes ao longo dos eixos x e y são dadas por:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = ρ g sin ⁡ θ - 0 + μ 0 + ∂ 2 u ∂ y 2 + 0

∂ 2 u ∂ y 2 = - ρ g sin ⁡ θ μ

Ao longo do eixo y :

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = ρ ( - g cos ⁡ θ ) - ∂ p ∂ y + μ 0 + 0 + 0

∂ p ∂ y = - ρ g cos ⁡ θ

Passo 2

Como u = u y , então ∂ 2 u ∂ y 2 = d 2 u d y 2 . Assim, a equação ao longo do eixo x se torna:

d 2 u d y 2 = - ρ g sin ⁡ θ μ

Integrando essa equação em relação a y duas vezes, obtemos

d u d y = - ρ g sin ⁡ θ μ y + C 1

u = - ρ g sin ⁡ θ 2 μ y 2 + C 1 y + C

Passo 3

Usando as condições de contorno em y = 0 , u = 0 , temos

0 = - 0 + 0 + C 2

C 2 = 0

E em y = h , τ x y = μ d u d y = 0 , a equação diferencial do passo anterior fica

0 = - ρ g sin ⁡ θ μ ( h ) + C 1

C 1 = ρ g h sin ⁡ θ μ

Substituindo esses valores de C 1 e C 2 nas equações do passo anterior, temos

d u d y = - ρ g sin ⁡ θ μ y + ρ g h sin ⁡ θ μ

d u d y = ρ g sin ⁡ θ μ ( h - y )

E

u = - ρ g sin ⁡ θ 2 μ y 2 + ρ g h sin ⁡ θ μ y

u = ρ g sin ⁡ θ 2 μ 2 h y - y 2

Como queríamos demonstrar. 😉

Resposta

u = ρ g sin ⁡ θ 2 μ 2 h y - y 2   [ d e m o n s t r a ç ã o ]