Quando você inala, o ar escoa pelos cornetos nasais, como mostra a figura. Suponha que, por um curto espaço de 15   m m , o escoamento esteja passando por placas paralelas, com as placas possuindo uma largura total média w = 20   m m e espaçamento de a = 1   m m . Se os pulmões possuem uma queda de pressão de ∆ p = 50   P a e o ar tem uma temperatura de 20   ° C , determine a potência necessária para inalar o ar.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Primeiro vamos considerar o escoamento laminar, estacionário e o ar incompressível. Como a densidade do ar é pequena, o termo do gradiente de elevação é desprezível. Além disso, as “placas” estão em repouso, então U = 0 . Assim,

u = - 1 2 μ ∂ ∂ x p + γ h a y - y 2

= - 1 2 μ ∆ p L a y - y 2

= - ∆ p 2 μ L a y - y 2

Com esse resultado, nós podemos determinar a vazão, que nós vamos usar lá na frente.

Passo 2

Temos

Q = ∫ A u d A = ∫ 0 a - ∆ p 2 μ L a y - y 2 w d y

= - w ∆ p 2 μ L ∫ 0 a a y - y 2 d y

= - w ∆ p 2 μ L a y 2 2 - y 3 3 0 a

= - w a 3 ∆ p 1 2 μ L

A potência que o enunciado nos pede pode ser calculada através de

W ˙ = F V

Mas F = ∆ p A e Q = V A , então

W ˙ = ∆ p A V = ∆ p Q

Então agora só precisamos da vazão Q para calcular a potência.

Passo 3

Do Apêndice A nós conseguimos extrair alguns dados importantes para o cálculo da vazão. Em T = 20   ° C , temos

ρ = 1,202   k g / m 3

μ = 18,1 × 10 - 6   N ∙ s / m 2

Calculando a vazão, substituindo esses dados numéricos, temos:

Q = 0,02   m 0,001   m 3 - 50   N / m 2 12 18,1 × 10 - 6   N ∙ s / m 2 0,015   m

Q = 0,3069 × 10 - 3   m 3 / s

Passo 4

O enunciado nos deu ∆ p = 50   P a , então agora podemos calcular a potência:

W ˙ = ∆ p Q

W ˙ = 50   N / m 2 0,3069 × 10 - 3   m 3 / s

W ˙ = 0,0153   W

Prontinho, achamos nosso resultado. Agora vamos pra próxima! 😉

Resposta

0,0153   W