Enunciado

O U 235 decai por emissão alfa com uma meia-vida de 7,0 ⋅ 10 8 anos. Também decai (raramente) por fissão espontânea; se o decaimento alfa não acontecesse, a meia-vida desse nuclídeo devido exclusivamente à fissão espontânea seria 3,0 ⋅ 10 17 anos. (a) Qual é o número de fissões espontâneas por dia em 1,0   g de U 235 ? (b) Quantos eventos de decaimento alfa do U 235 acontecem para cada evento de fissão espontânea?

Passo 1

Esse é um problema sobre meia-vida e decaimento radioativo. Sabemos que a expressão para o o número de núcleos radioativos decai como

N = N 0   e - λ t ⇒ d N d t = - λ   N 0 e - λ t = - λ N

Assim, definimos a taxa de fissões por

R = - d N d t = λ N

Por outro lado, sabemos que

e - λ t = 2 - t / T

Assim, tomando o logaritmo dos dois lados:

- λ t = - t T ln ⁡ 2 ⇒ λ = ln ⁡ 2 T

Portanto,

R = N ln ⁡ 2 T

Passo 2

No item (a), temos que o número de núcleos é

N = m M ⋅ N A = 1,0   g 235 g m o l ⋅ 6,02 ⋅ 10 23   m o l - 1 = 6,02 ⋅ 10 23 235   n ú c l e o s

Portanto, como T = 3,0 ⋅ 10 17 anos:

R = 6,02 ⋅ 10 23 235 ⋅ ln ⁡ 2 3,0 ⋅ 10 17   a n o s ⋅ 365   d i a s / a n o

Assim,

R = 16   f i s s õ e s / d i a

Passo 3

No item (b) queremos comparar os dois tempos de meia-vida. Assim,

R e s p R α = N ln ⁡ 2 T e s p ⋅ T α N ln ⁡ 2 = T α T e s p

Portanto,

R α R e s p = T e s p T α = 3,0 ⋅ 10 17 7,0 ⋅ 10 8 = 4,3 ⋅ 10 8

Logo, para cada fissão espontânea, ocorrem cerca de 430 milhões de decaimentos alfa.

Resposta

16   f i s s õ e s / d i a

4,3 ⋅ 10 8

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