Enunciado

38.37. Raios X com comprimentos de onda de 0,0665 nm sofrem um espalhamento Compton. Qual é o maior comprimento de onda observado nos raios X espalhados? Em que ângulo de espalhamento esse comprimento de onda é observado?

Passo 1

A equação do comprimento de onda pós espalhamento é a seguinte

λ ' = λ + h m c 1 - c o s ϕ

Repare que o termo h m c é uma constante. Para qualquer elétron esse termo tem o mesmo valor numérico.

Para saber o maior comprimento de onda a gente pode derivar e igualar à 0, depois fazer a segunda derivada para conferir qual ângulo corresponde ao maior ângulo. Mas existe uma solução mais simples. Basta a gente analisar o termo da equação que tem ϕ

h m c   1 - cos ⁡ ϕ

Quanto menor for cos ⁡ ϕ , maior é esse termo, e consequentemente maior é o comprimento de onda. Bom, o menor valor de cosseno possível é - 1 . Então

h m c   1 - - 1

É o maior valor possível para esse termo. Então o comprimento de onda fica

λ ' = λ + 2 h m c

Agora é só fazer a conta. Lembrando que

0,0665   n m → 6,65 ⋅ 10 - 11   m

λ ' = 6,65 ⋅ 10 - 11   + 2 6,63 ⋅ 10 34 9,12 ⋅ 10 - 12 2,998 ⋅ 10 8

Isso vai dar

λ ' = 7,135 ⋅ 10 - 11   m

Ou

λ ' = 0,07135   n m

Passo 2

Vamos calcular agora o ângulo que esse comprimento de onda é observado. Bom, no passo anterior a gente conclui que cos ⁡ ϕ assume seu menor valor possível, ou seja, cos ⁡ ϕ = - 1 . Esso valor ocorre para o ângulo 180 ° . Então esse comprimento de onda é observado num espalhamento com ângulo de 180°.

Resposta

λ = 0,07135   n m

ϕ = 180 °

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