Enunciado

46. Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. Para tais elétrons a relação λ = h / p continua válida, porém, devemos usar a expressão relativística para o momento linear, p = m v / 1 - v 2 / c 2 . a ) Mostre que a

velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie λ é dada por

v = c 1 + m c λ / h 2

b ) A grandeza h / m c é igual a 2,426 ⋅ 10 - 12   m . (Como vimos na Seção 38.7 , essa mesma grandeza aparece na Equação ( 38.23 ) , a expressão do espalhamento Compton de fótons por elétrons.) Se λ é pequeno em comparação h / m c , o denominador da expressão encontrada no item ( a ) é aproximadamente igual a 1 , e a velocidade v é aproximadamente igual a c . Nesse caso, é conveniente escrever v = ( 1 - Δ ) c e expressar a velocidade do elétron em termos

de Δ em vez de v . Encontre uma expressão para Δ válida quando λ ≪ h / m c . (Sugestão: use a série binomial 1 + z n = 1 + n z + n n - 1 z 2 / 2 + … válida para z < 1 . c ) Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a 1,0 ⋅ 10 - 15   m , comparável ao diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma v = ( 1 - Δ ) c , dizendo quanto vale Δ .

Passo 1

Então meu povo, esse problema quer saber mesmo é se agente sabe fazer conta, pois todos os contextos físicos já foram dados, ele só quer que encontremos expressões.

Só no item ( c ) que ele quer que encontremos um valor, mas faremos isso com base no que encontramos antes.

Passo 2

Vamos começar com item ( a ) , temos as seguintes informações:

λ = h p

Onde temos que:

p = m v / 1 - v 2 / c 2

Juntando as duas expressões, temos:

λ = h m v / 1 - v 2 / c 2

Agora temos que isolar v . Temos:

λ = h 1 - v 2 / c 2 m v

⇒ m v λ =   h 1 - v 2 c 2

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado, assim:

m 2 v 2 λ 2 = h 2 1 - v 2 c 2

⇒ m 2 v 2 λ 2 = h 2 - h 2 v 2 c 2

⇒ m 2 v 2 λ 2 + h 2 v 2 c 2 = h 2

Assim, temos que:

v 2 m 2 λ 2 + h 2 c 2 = h 2

⇒ v 2 m 2 λ 2 c 2 + h 2 c 2 = h 2

⇒ v 2 = h 2 c 2 m 2 λ 2 c 2 + h 2

Isolando h 2 no denominador, temos que:

v 2 = h 2 c 2 h 2 m 2 λ 2 c 2 h 2 + 1

⇒ v 2 = c 2 m 2 λ 2 c 2 h 2 + 1

Finalmente temos que:

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

Passo 3

Agora vamos nos ligar no seguinte, para encontrar uma expressão para Δ , vamos reescrever a expressão que achamos para v parecido com a seguinte expressão:

v = ( 1 - Δ ) c

Pois assim encontramos uma expressão para Δ .

Temos o seguinte:

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

⇒ v = c m λ c / h 2 + 1 - 1 / 2

Usando a expansão mostrada no enunciado até a primeira ordem, temos:

= c 1 - 1 2 m λ c h 2

Comparando com:

v = ( 1 - Δ ) c

Temos que:

Δ = 1 2 m λ c h 2

⇒ Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

Passo 4

Queremos encontrar v que faça com que tenhamos λ = 1,0 ⋅ 10 - 15   m

Primeiro vamos encontrar Δ e depois encontrar v com a expressão

v = ( 1 - Δ ) c

Vamos lá, temos que:

Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

Onde h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s , m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g , assim ficamos com:

Δ = ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) 2 ( 1 ⋅ 10 - 15 ) 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 2 ( 6,63 ⋅ 10 - 34 ) 2

= 746,76 ⋅ 10 - 76 87,91 ⋅ 10 - 68

Então temos que:

Δ = 8,5 ⋅ 10 - 8

Passo 5

Agora vamos encontrar a velocidade, temos que:

v = ( 1 - Δ ) c

⇒ v = ( 1 - 8,5 ⋅ 10 - 8 ) c

Resposta

( a )

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

( b )

Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

( c )

v = ( 1 - 8,5 ⋅ 10 - 8 ) c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O núcleo atômico foi descoberto em 1911 por Ernest Rutherford, que interpretou corretamente uma série de experimentos nos quais um feixe de partículas alfa era espalhado por folhas finas de metais com
Íons de sódio monoionizados sçao acelerados por uma diferença de potencial de 300V . (a) Qual é o momento final dos íons? (b) Qual é o comprimento de de Broglie correspondente?
Um elétron e um fóton têm o mesmo comprimento de onda, 0,20n m . Calcule o momento (em k gm / s ) (a) do elétron e (b) do fóton. Calcule a energia (em e V ) (c) do elétron e (d) do fóton.
Uma partícula não relativística está se movendo três vezes mais depressa quem um elétron. A razão entre o comprimento de onda de de Broglie da partícula e o comprimento de onda de de Broglie do elétro
Uma bala de revólver com 40 g de massa foi disparada com uma velocidade de 1000 m/s. Embora seja óbvio que uma bala é grande demais para ser tratada como uma onda de matéria, determine qual é a previs