Enunciado

58- As ondas eletromagnéticas se propagam em condutores de modo muito diferente da propagação em dielétricos e no vácuo. Quando a resistividade do condutor for suficientemente pequena (ou seja, quando ele for um bom condutor), o campo elétrico oscilante da onda produzirá uma corrente de condução oscilante que é muito maior do que a corrente de deslocamento. Nesse caso, a equação de onda para o campo elétrico E → x , t = E y x , t j se propagando no sentido + x no interior do condutor é dada por

∂ 2 E y x , t ∂ x 2 = μ ρ ∂ E y x , t ∂ t

Em que μ é a permeabilidade do condutor e ρ é sua resistividade.

( a ) Uma solução para essa equação de onda é dada por

E y x , t = E m á x e - k C x s e n ( k C x - ω t )  

Em que k C = ω μ / 2 ρ . Verifique essa solução substituindo E y ( x , t ) na equação de onda precedente.

( b ) O termo exponencial mostra que a amplitude do campo elétrico diminui a medida que a onda se propaga. Explique a razão desse efeito.( Sugestão: o campo realiza trabalho para mover a carga no interior do condutor. A corrente resultante desse movimento produz uma dissipação de calor i 2 R no interior do condutor, fazendo a sua temperatura aumentar. De onde provém a energia para isso?)

( c ) Mostre que a amplitude do campo elétrico diminui de um fator 1 / e para uma distância determinada por 1 k C = 2 ρ / ω μ   e calcule essa distância para uma onda de rádio com frequência f = 1.0   M H z no cobre (resistividade 1.72 × 10 - 8   Ω m e permeabilidade μ = μ 0 ). Como essa distância é muito pequena, as ondas eletromagnéticas praticamente não se propagam no interior do cobre. Ao contrário, elas são refletidas na superfície do metal. A partir disso se conclui que as ondas de rádio não penetram no cobre nem em outros metais, explicando-se por que a recepção das ondas de rádio é extremamente fraca no interior de um ambiente cercado por uma estrutura metálica.

Passo 1

Mas uma daquelas questões quilométricas com resoluções nem tão grandes assim, mas que cansam. Na letra a só queremos verificar a equação diferencial dada no enunciado

∂ 2 E y x , t ∂ x 2 = μ ρ ∂ E y x , t ∂ t

E pra isso vamos derivar a equação de E y dada a letra a em relação a x e a t e que será:

E y x , t = E m á x e - k C x s e n ( k C x - ω t )

Derivando em relação a t nós temos:

∂ E y ∂ t = - ω E m á x e - k C x c o s ⁡ ( k C x - ω t )

E as duas derivadas em relação a x será:

∂ E y ∂ x = - k C e - k C x E m á x s e n k C x - ω t + k C E m á x e - k C x c o s ( k C x - ω t )

∂ E y ∂ x = k C E m á x e - k C x cos ⁡ k C x - ω t - s e n k C x - ω t

Agora a segunda derivada em relação a x :

∂ 2 E y ∂ x 2 = - k C 2 E m á x e - k C x cos ⁡ k C x - ω t - s e n k C x - ω t

+ k C 2 E m á x e - k C x - s e n k C x - ω t - c o s k C x - ω t

∂ 2 E y ∂ x 2 = - 2 k C 2 E m á x e - k C x c o s ⁡ ( k C x - ω t )

Substituindo na EDO temos:

- 2 k C 2 E m á x e - k C x cos ⁡ k C x - ω t = - μ ρ ⋅ ω E m á x e - k C x c o s ⁡ ( k C x - ω t )

E como k C = ω μ / 2 ρ então k C 2 = ω μ 2 ρ então toda a equação é válida pois as duas partes são iguais. Pois cortando E m á x e - k C x cos ⁡ k C x - ω t nos dois lados nós teremos:

2 k C 2 = μ ω ρ

k C = ω μ / 2 ρ

Passo 2

Para a letra b não tem mistério, a energia da onda eletromagnética representa uma onda eletromagnética subamortecida, então sua amplitude diminui a medida que a onda se propaga em x

E y x , t = E m á x e - k C x s e n ( k C x - ω t )  

E como a medida que o campo elétrico diminui com a distância então a potência que flui sobre um cabo que conduz essa energia diminui com a distância também.

Passo 3

A onda eletromagnética com equação

E y x , t = E m á x e - k C x s e n ( k C x - ω t )  

É uma onda com característica subamortecida e sua amplitude varia de acordo com o termo:

A = E m á x e - k C x

Isso significa que na distância de x = 0 a amplitude dessa onda será de E m á x e para uma distância qualquer x essa amplitude irá diminuir para um fator n do campo máximo e que será de:

n E m á x = E m á x e - k C x

n = e - k C x

Onde esse fator n é uma porcentagem determinada, tipo 10% da amplitude máxima.

ln ⁡ n = - k C x

x = - ln ⁡ n k C

Se fizermos esse fator n ser igual a 1 / e (tal como a letra c nos diz e que nos representa 36.79 % da amplitude máxima do campo elétrico) nós teremos:

x = - ln ⁡ 1 e k C

x = 1 k C = 2 ρ ω μ  

Então essa distância x será (com os dados da letra c ).

ω = 2 π f

f = 1   M H z

ρ = 1.72 × 10 - 8   Ω m

μ = μ 0 = 4 π × 10 - 7  

x = 2 × 1.72 × 10 - 8 2 π × 10 6 × 4 π × 10 - 7 = 6.6 × 10 - 5   m

E que realmente é uma distância bem pequena para que tenhamos uma perda total de 36.79 % do campo elétrico dentro do condutor.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   P a s s o   2

c )   6.6 × 10 - 5   m ;  

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