Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente vai levantando uma das extremidades. Quando o ângulo de inclinação faz 30° com a horizontal, ela começa a deslizar, descendo pela prancha cerca de 2,5 m em 4,0 s. Quais os coeficientes de atrito determinados?

Passo 1

Fala aí! A primeira coisa que vamos fazer para resolver esse tipo de questão é desenhar o que o enunciado nos descreve e anotarmos todas as forças que conseguirmos encontrar atuando nos corpos.

Beleza, depois disso, vamos relembrar como calculamos a força de atrito. Se você se lembrar, ela é expressa pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal.

F a t = μ ⋅ N

Mas por enquanto não conhecemos nenhum desses caras, então temos que procurar outro caminho.

Passo 2

Quem traz pra gente a solução é nosso grande amigo Newton, na forma da sua segunda lei. Lembra o que ela afirma? A força resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração:

F r = M ⋅ a

E quem é essa tal força resultante? Ora, se olharmos para o eixo x desenhado ali na figura acima, veremos que as únicas forças atuantes são a força de atrito e a componente em x do peso. Portanto, podemos reescrever assim:

P x - F a t = M ⋅ a

Vamos reescrever esse P x em termos do peso. Faremos isso por meio das relações trigonométricas do triângulo retângulo (é só olhar pra aquele ângulo θ ali na figura).

s e n θ = P x P

P x = P ⋅ s e n 30 °

Agora podemos voltar na última equação e substituir P x e F a t por suas respectivas expressões.

P ⋅ s e n 30 ° - μ ⋅ N = M ⋅ a

Passo 3

Para melhorarmos isso aí, vamos, agora, olhar para as forças atuantes no eixo y lá na figura. Consegue perceber que a força normal deve ser igual à componente P y ? Isso porque o corpo não se desloca nem pra lá nem pra cá no eixo y. Então:

N = P y

N = P ⋅ cos ⁡ 30 °

A equação do passo anterior fica assim:

P ⋅ s e n 30 ° - μ ⋅ P ⋅ c o s ⁡ ( 30 ° ) = M ⋅ a

Vamos reorganizar isso aí para podermos isolar o coeficiente μ .

P ⋅ s e n 30 ° - M ⋅ a = μ ⋅ P ⋅ cos ⁡ 30 °

Como o peso corresponde ao produto da massa pela gravidade, podemos substituir e cancelar a massa em todos os termos:

g ⋅ s e n 30 ° - a = μ ⋅ g ⋅ cos ⁡ 30 °

μ = g ⋅ sen ⁡ 30 ° - a g ⋅ c o s ⁡ ( 30 ° )

Passo 4

Agora só precisamos encontrar essa aceleração, já que todos os outros valores são conhecidos. Um meio de encontrá-la se dá pela função horária do espaço, a qual é expressa da seguinte forma:

Δ S = V 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Como a velocidade inicial é zero, ficamos com a distância percorrida é igual à aceleração vezes o tempo ao quadrado dividido por dois. Bora substituir esses valores e ver no que dá

2,5 = a ⋅ 4 2 2

a = 0,313   m / s 2

Agora podemos voltar na equação do passo anterior.

μ = g ⋅ sen ⁡ 30 ° - a g ⋅ c o s ⁡ ( 30 ° )

μ = 9,8 ⋅ 1 2 - 0,313 9,8 ⋅ 3 2

μ = 0,54

Afinal, esse é o coeficiente de atrito cinético ou estático? Ora, se utilizamos uma aceleração diferente de zero nos nossos cálculos, só pode ser o cinético, pois isso indica que o corpo está em movimento.

μ c = 0,54

Passo 5

Para finalizar, bora encontrar o bendito do coeficiente de atrito estático, então. Mas relaxa que 99% do nosso trabalho já está pronto.

Olha só, nos passos anteriores, encontramos uma equação que descreve os coeficientes de atrito deste caso e, como sugeri no último passo, o coeficiente de atrito estático deve ser calculado com uma aceleração igual a zero. Portanto, tudo o que precisamos fazer aqui é o seguinte:

μ = g ⋅ sen ⁡ 30 ° - a g ⋅ c o s ⁡ ( 30 ° )

Com a = 0 :

μ e = s e n 30 ° cos ⁡ 30 ° = T g 30 °

μ e = 3 3 ≈ 0,58

Resposta

O coeficiente de atrito estático vale 0,58 e o cinético vale 0,54 .