Enunciado

A antena de transmissão de uma estação de rádio AM está localizada na periferia da cidade. Os proprietários da estação gostariam de emitir toda a energia para a cidade e nenhuma para as cidades do interior, entretanto uma única antena irradiaria energia igualmente em todas as direções. A Flo entre as fontes. O objetivo é determinar os valores de L e de ó.1 que produzam intetfcrência construtiva oo lado voltado para a cidade e des1ruliva no lado voltado para o interior.

Considere que a antena 1 esteja em x = O. A onda que se propaga para a direita é representada por asen [2n(x/À - r/T)]. A onda que se propaga para a esquerda é dada por asen [2n(-x/À - t!T)). (Deve ser assim, em ve7. de ascn [2'iT(x/À + r/T)), para que as duas ondas sejam igltais em x = O.) A antena 2 está localizada em x = L. Ela transmite uma onda representada por asen [2n (x - L)/À - t/T) + 4>201 que se propaga para a direita, e outra onda dada por asen [21T(- (x - L)/ À - t/T) + q,20), propagando-se para a esquerda a. Qual é o menor valor de L para o quafvocê produz interferência construtiva total no lado da cidade e interferência totalmente des· trutiva no lado voltado para o interior? Sua resposta deverá ser um múltiplo ou uma fração do comprimento de onda À. b. Para tal, qual deve ser constante de fase 4>20 da antena 2? e. A que fração do período de oscilação T deve !lt corresponder para que se produza o valor adequado de 4>20? d. Calcule L e ilt para uma freqüência de rádio AM realista igual a 1.000 kHz. Comentário: Este é um exemplo simples de um arranjo de antenas com controle de fase (phased·array antenna), em que as diferenças de fa~e entre emissores idênticos são usadas para .. direcionar" a radiação em um determinado sentido. Os arranjos com controle de fase são amplamente usados na tecnologia dos radares.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Então vamos resolver essa questão bem legal aqui e passo a passo pra gente tirar 10 na provinha!

Vamo lá!

Letra a:

As ondas que viajam para a esquerda são:

D 1 = asin ⁡ 2 π - x λ - t T                                           D 2 = asin ⁡ 2 π - x - L λ - t T + ϕ 20

A diferença de fase entre as ondas do lado esquerdo da antena é, portanto,

Δ ϕ L = ϕ 2 - ϕ 1 = 2 π - x - L λ - t T + ϕ 20 - 2 π - x λ - t T = 2 π L λ + ϕ 20

No lado direito das antenas, onde x 1 = x 2 + L , as duas ondas são:

D 1 = asin ⁡ 2 π x λ - t T

D 2 = asin ⁡ 2 π x - L λ - t T + ϕ 20

Passo 2

Assim, a diferença de fase entre as ondas à direita é:

Δ ϕ R = ϕ 2 - ϕ 1 = 2 π x - L λ - t T + ϕ 20 - 2 π x λ - t T = - 2 π L λ + ϕ 20

Queremos uma interferência destrutiva ou à esquerda e uma interferência construtiva na direita. Isto requer:

Δ ϕ L = ϕ 20 + 2 π L λ = 2 π m + 1 2

Δ ϕ R = ϕ 20 - 2 π L λ = 2 π n

Essas são duas equações simultâneas e podemos satisfazê-las se L e ϕ 20 forem escolhidos corretamente. Subtraindo a segundo equação da primeira para eliminar ϕ 20 , temos:

4 π L λ = 2 π m + 1 2 - n ⇒ L = m + 1 2 - n λ 2

O menor valor de L que funciona é para n = m , para L = 1 4 λ .

Passo 3

Letra b:

A partir da equação Δ ϕ R ,

ϕ 20 - 2 π L λ = ϕ 20 - 2 π 1 4 λ λ = ϕ 20 - π 2 = 2 π n ⇒ ϕ 20 = π 2 + 2 π n r a d

Adicionando múltiplos inteiros de 2 π à constante de fase não muda realmente a onda, então a fase constante fisicamente significativa é para n = 0:

ϕ 20 = 1 2 π r a d

Passo 4

Letra c:

Temos ϕ 20 = 1 2 π r a d = 1 4 ( 2 π ) . Se a onda da antena 2 fosse atrasada por um período T completo, ela mudaria a onda por um ciclo completo. Nós descreveríamos isso por uma constante de fase de 2 π   r a d . Portanto, uma constante de fase de 1 4 ( 2 π ) pode ser alcançados atrasando a onda em:

Δ t = 1 4 T

Passo 5

Letra d:

Uma onda com frequência f = 1000 k H z = 1.00 × 10 6 H z tem um período T = 1.00 × 10 - 6 s = 1.00 μ s e comprimento de onda λ = c f = 300 m . Portanto, este esquema de transmissão funcionará se as antenas estiverem espaçadas L   =   75 m uma da outra e se a transmissão da antena 2 está atrasada em Δ t = 0.25 μ s = 250 n s .

Resposta

  1. D 1 = asin ⁡ 2 π x λ - t T ,     D 2 = asin ⁡ 2 π x - L λ - t T + ϕ 20
  2. ϕ 20 = 1 2 π r a d
  3. Δ t = 1 4 T
  4. Ver resposta
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