Enunciado

Um arco-íris é produzido pela reflexão da luz solar em gotas de água esféricas existentes no ar. A Figura 33.62 mostra um raio que se refrata para o interior de uma gota no ponto A, é refletido na superficie posterior da gota no ponto B e se refrata voltando para o ar no ponto C. Os ângulos de incidência e refração, θ a e θ b . são mostrados nos pontos A e C, os ângulos de incidência e de reflexão, , θ a e θ d ., são mostrados no ponto B. a) Mostre que θ a B = θ b A ,   θ a C = θ b A e θ b C = θ a A . b) Mostre que o ângulo em radianos antes de o raio entrar na gota em A e depois de sair da gota em C (a deflexão angular total do raio) é Δ = 2 θ a A - 4 θ b A + π . (Sugestão: determine a deflexão angular que ocorre em A, em B e em C e some para encon- trar Δ .) c) Use a lei de Snell para escrever Δ em termos de θ a A e de n , o indice de refração da água na gota. d) O arco-íris se forma quando o angulo de deflexão Δ é estacionário em relação a θ a A , . ou seja, quando d Δ / d θ a A = 0 . Quando essa condição for obedecida. todos os raios próximos de θ a A , sairão da gota retomando na mesma direção, produzindo una faixa brilhante no céu. Chame de θ 1 , o ângulo para o qual isso ocorre. Mostre que cos 2 ⁡ θ 1 = 1 3 n 2 - 1 . (Sugestão: talvez voce ache conveniente usar a fórmula da derivada d   ( arcsen ⁡ u x ) / d x = 1 - u 2 - 1 2 ( d u / d x ) . e) O indice de refração da água é igual a 1.342 para a luz violeta e 1.330 para a luz vermelha. Use os resultados dos itens (c) e (d) para calcular θ 1 e Δ para a luz vermelha e para a luz violeta. Seus resultados concordam com os angulos mostrados na Figura 33.20d? Quando você về um arco-íris primánio, qual cor está mais afastada do horizonte: a vermelha ou a violeta?

Passo 1

  1. Olhando para a figura do enunciado, temos que, devido os triângulos serem isósceles:

θ a B = θ b A

Mesmo para:

θ a B = θ a C

Usando igualdade de cima:

θ a C = θ b A

Aplicando a lei de snell no raio incidente à gota:

n a r sen ⁡ θ a A = n á g sen ⁡ θ b A

Aplicando a lei de snell no raio emergente à gota:

n á g sen ⁡ θ a C = n a r sen ⁡ θ b C

Como já vimos, θ a C = θ b A

Então

n á g sen ⁡ θ a C = n a r sen ⁡ θ b C

n á g sen ⁡ θ b A = n a r sen ⁡ θ b C

Pela primeira lei de snell:

n a r sen ⁡ θ a A = n á g sen ⁡ θ b A

Então:

n á g sen ⁡ θ b A = n a r sen ⁡ θ b C

n a r sen ⁡ θ a A = n a r sen ⁡ θ b C

sen ⁡ θ a A = sen ⁡ θ b C

θ a A = θ b C

Prontinho!!

Passo 2

B)

Queremos a deflexão total dos raios incidente e emergente.

Vamos usar a dica que é calcular a deflexão que ocorre no ponto A, somar com a deflexão no ponto B e somar com a deflexão do ponto C.

Só lemrando que podemos entender deflexão como a mudança de direção que o raio tava fazendo. Tipo, se tinha uma raio vindo na horizontal e em um ponto ele passa a ir na vertical, então tivemos uma deflexão de 90 ° . Show?

Vamos lá então!

As retas em roxo são os prolongamentos.

Temos

δ A = θ a A - θ b A

δ B = π - θ a B - θ r B

δ C = θ b C - θ a C

Δ = δ A + δ B +   δ C

Δ = θ a A - θ b A + π - θ a B - θ r B +   θ b C - θ a C

Pelo item a, podemos escrever:

Δ = θ a A - θ b A + π - θ b A - θ b A +   θ a A - θ b A

Δ = 2 θ a A - 4 θ b A + π

Show de bola!!

Passo 3

c)

Aplicando a lei de snell no raio incidente:

n a r sen ⁡ θ a A = n sen ⁡ θ b A

sen ⁡ θ a A = n sen ⁡ θ b A

sen ⁡ θ b A = sen ⁡ θ a A n

θ b A = a r c s e n sen ⁡ θ a A n

Então

Δ = 2 θ a A - 4 θ b A + π

Δ = 2 θ a A - 4   a r c s e n sen ⁡ θ a A n + π

Passo 4

d) Usando a condição:

d Δ d θ a A = 0

d ( 2 θ a A - 4 θ b A + π ) d θ a A = 0

2 - 4 d θ b A d θ a A = 0

Pela letra e, temos:

2 - 4 d   a r c s e n sen ⁡ θ a A n d θ a A = 0

Podemos fazer uma substituição simples:

sen ⁡ θ a A n = u

Então

d u d θ a A = cos ⁡ θ a A n

Pela regra da cadeia

2 - 4 ⋅ d u d θ a A ⋅ d d u a r c s e n u = 0

A derivada do a r c s e n u = 1 - u 2 1 2 :

2 - 4 ⋅ d u d θ a A 1 - u 2 - 1 2 = 0

Vamos voltar a substituição:

2 - 4 ⋅ cos ⁡ θ a A n 1 - sen 2 ⁡ θ a A n 2 - 1 2 = 0

simplificando

2 - 4 ⋅ cos ⁡ θ a A n n n 2 - sen 2 ⁡ θ a A - 1 2 = 0

Multiplicando todo mundo por n 2 - sen 2 ⁡ θ a A 1 2

2 n 2 - sen 2 ⁡ θ a A 1 2 - 4 ⋅ cos ⁡ θ a A n n = 0

2 n 2 - sen 2 ⁡ θ a A 1 2 = 4 ⋅ cos ⁡ θ a A

Elevando todo mundo ao quadrado:

4 ( n 2 - sen 2 ⁡ θ a A ) = 16 ⋅ cos 2 ⁡ θ a A

n 2 - 1 - cos 2 ⁡ θ a A = 4 ⋅ cos 2 ⁡ θ a A

n 2 - 1 + cos 2 ⁡ θ a A = 4 ⋅ cos 2 ⁡ θ a A

Então

n 2 - 1 = 3 ⋅ cos 2 ⁡ θ a A

cos 2 ⁡ θ a A = n 2 - 1 3

O ângulo θ a A para o qual isso ocorre é chamado de θ 1

cos 2 ⁡ θ 1 = n 2 - 1 3

Show!

Passo 5

e)

para o violeta.

Pelo item anterior:

cos 2 ⁡ θ 1 = n 2 - 1 3

cos ⁡ θ 1 = n 2 - 1 3

θ 1 = arccos ⁡ n 2 - 1 3

θ 1 = arccos ⁡ 1,342 2 - 1 3

Resolvendo:

θ 1 = 58,89 °

E pelo item c:

Δ = 2 θ a A - 4   a r c s e n sen ⁡ θ a A n + π

Δ = 2 ⋅   58,89 ° - 4   a r c s e n sen ⁡ 58,89 ° 1,342 + 180 °

Δ = 139,2 °

Pela figura θ v i o = 40,8 ° .

Vamos agora para o vermelho.

θ 1 = arccos ⁡ n 2 - 1 3

θ 1 = arccos ⁡ 1,330 2 - 1 3

θ 1 = 59,58 °

E

Δ = 2 ⋅   59,58 ° - 4   a r c s e n sen ⁡ 59,58 ° 1,3 30 + 180 °

Δ = 137,5 °

Pela figura θ v e r m = 42,5 ° .

Os ângulos concordam com os da figura. O θ 1 do vermelho é maior que o do violeta, então o vermelho vai estar mais acima no horizonte.

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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