Enunciado

As barras AB e BC estão articuladas em A e B. Sendo P o peso de cada uma, achar o coeficiente de atrito máximo, em C, compatível com o equilíbrio na posição indicada.

Passo 1

Em questões que há o envolvimento de forças e sistemas com complexidade ou não, devemos pensar passo a passo em cada componente de forças atuantes. No caso deste bloquinho sobre uma superfície, temos que, atuando sobre ele, há as forças e os momentos no eixo x e no eixo y. Pela segunda Lei de Newton, sabemos que a somatória de todas as forças e momentos em cada eixo deve ser igual à massa multiplicada pela aceleração. A partir desta lei, entende-se que, quando não há movimento no eixo, ou seja, quando o sistema está em equilíbrio, a aceleração é nula e, consequentemente, a somatória das forças no eixo é igual à zero.

A questão nos pede o valor do coeficiente de atrito em C para que o equilíbrio seja mantido. Para isso, devemos entender que, como explicado, a somatória dos momentos deve ser nula, tanto em A quanto em B. Desta forma, vamos calculá-los:

∑ M A = 0

Como temos um sistema de articulações diagonais, devemos tratar com as componentes de x e y. Pensando assim, temos que a força normal e a força peso que atuam em A são encontradas pelas componente y e x, respectivamente, ou seja:

N y = N * s e n ( α )

e

P x = P * c o s ( α )

Assim, vamos calcular o momento em A, dado pela somatória da multiplicação de cada força pela distância de aplicação da força até A. É importante ressaltar que o momento será calculado baseando-se no sentido anti-horário como positivo. Sendo assim, temos que a força normal N em relação a A está a uma distância de 4a e no sentido positivo em relação ao adotado, e a força peso P está a uma distancia de 2a, no sentido negativo em relação ao adotado. Assim, temos o cálculo do momento em A:

∑ M A = N * s e n α * 4 a + - P * c o s α * 2 a = 0

N * s e n α * 4 a - P * c o s α * 2 a   = 0

N * s e n α * 4 a = P * c o s α * 2 a  

Isolando a força normal nesta equação obteremos:

N = P * c o s α * 2 a   s e n α * 4 a = P 2 * ( t g α )

Passo 2

Vamos agora calcular a somatória do momento atuante em B. Assim como no eixo A, não há movimento no sistema em B. Assim, teremos:

∑ M B = 0

Como temos um sistema de articulações diagonais, devemos tratar com as componentes de x e y. Pensando assim, temos que a força normal, a força de atrito e a força peso que atuam em B são encontradas pelas componente y e x, respectivamente, ou seja:

N y = N * s e n α ,

P x = P * c o s α     e

T x = T * c o s α    

Assim, vamos calcular o momento em B, que será calculado baseando-se no sentido anti-horário como positivo. Sendo assim, temos que a força normal N em relação a B está a uma distância de 2a e no sentido negativo em relação ao adotado, e a força peso P está a uma distancia de 2a/2=a, no sentido negativo em relação ao adotado. Além disso, temos a força de atrito em C, que está a uma distância de 2a de B e é positiva. Assim, temos o cálculo do momento em B:

∑ M B = - N * s e n α * 2 a + - P * c o s α * a + ( T * c o s α * 2 a ) = 0

- N * s e n α * 2 a - P * c o s α * a + T * c o s α * 2 a   = 0

T * c o s α * 2 a   = P * c o s α * a + N * s e n α * 2 a  

Isolando a força de atrito nesta equação obteremos:

2 T = P * c o s α * a + N * s e n α * 2 a     c o s α * a = 2 * N * t g α + P

2 T = 2 * N * t g α + P

Além disso, temos pela definição de equilíbrio, e como já dito, que a somatória das forças em y deve ser igual a 0. Por conta disso, temos:

∑ F y = 0

T + - P = 0

Assim, temos que

T = P .

Passo 3

Devemos lembrar, também, que a força de atrito é dada por:

T ≤ μ * N

Como T=P, e lembrando-se da equação da força normal encontrada no passo 1, teremos:

P ≤ μ * P 2 * ( t g α )

Assim, encontramos a equação para o coeficiente de atrito, que será:

μ ≥ 2 * ( t g α )

Resposta

μ ≥ 2 * ( t g α )

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