Enunciado

Um bloco de 2,0   k g é preso a uma das extremidades de uma mola com uma constante elásstica de 350   N / m e forçado a oscilar por uma força F = 15   N sen ⁡ ω d t , em que ω d = 35   r a d / s . A constante de amortecimento é b = 15   k g / s . Em t = 0 , o bloco está em repouso com a mola relaxada. (a) Use integração numérica para plotar o deslocamento do bloco durante o primeiro 1,0   s . Use o movimento perto do final do intervalo de 1,0   s para estimar a amplitude, o período e a frequência angular. Repita os cálculos para (b) ω d = k / m e (c) ω d = 20   r a d / s .

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar uma equação diferencial que descreva o movimento do oscilador.

Para isso vamos usar a segunda lei de Newton:

∑ F x = m x ¨

Onde x ¨ é a segunda derivada temporal da coordenada x :

m x ¨ = F m o l a + F a m o r t e c i m e n t o + F e x t e r n a

Agora vamos reescrever cada um dos termos: lembrando de colocar os sinais negativos na força elástica e na força de amortecimento.

m x ¨ = - k x - b x ˙ + 15 sen ⁡ ω d t

x ¨ + b m x ˙ + k m x = 15 m sen ⁡ ω d t

Passo 2

Agora vamos substituir os valores numéricos:

x ¨ + 15 2,0 x ˙ + 350 2,0 x = 15 2,0 sen ⁡ 35 t

x ¨ + 7,5 x ˙ + 175 x = 7,5 sen ⁡ 35 t

O enunciado pediu para resolvermos essa equação por integração numérica. Não é tão simples fazer integração numérica para uma equação diferencial de segunda ordem, então vamos com calma.

Passo 3

Inicialmente o que nós temos é uma equação diferencial de segunda ordem e duas condições iniciais:

x ¨ + 7,5 x ˙ + 175 x = 7,5 sen ⁡ 35 t x ˙ ( 0 ) = 0 x ¨ 0 = 0

Se você colocar essas informações em um programa de integração numérica, vai chegar em um gráfico como esse:

Mas vamos ver o que conseguimos fazer por conta própria (o computador será sempre indispensável).

Primeiro nós vamos converter aquela equação diferencial de segunda ordem em duas equações de primeira ordem, fazendo a seguinte substituição:

x ˙ = u

Então ficamos com um par de duas equações de primeira ordem, cada uma com sua própria condição inicial.

x ˙ = u ,     x 0 = 0   u ˙ + 7,5 u + 175 x = 7,5 sen ⁡ 35 t ,     u 0 = 0

Passo 4

Agora vamos separar o intervalo do eixo x em vários pedaços. O enunciado pediu para plotarmos entre t = 0 e t = 1   s , então vamos pegar 100 pedaços de 0,01   s cada, compreendendo esse intervalo inteiro:

Δ t = 1,0 100 = 0,01   s

E então vamos transformar cada uma daquelas equações diferenciais em equações que dêem um valor para cada passo Δ t . Começando pela primeira equação:

x ˙ = u         ⇒       d x d t = u

d x = u   d t

Vamos aproximar d x ≅ Δ x = x k + 1 - x k e d t = Δ t . Então:

x k + 1 = x k + u k Δ t

x 0 = 0

E agora vamos fazer o mesmo para a segunda equação:

u ˙ + 7,5 u + 175 x = 7,5 sen ⁡ 35 t

d u = 7,5 sen ⁡ 35 t - 7,5 u - 175 x   d t

Usando as mesmas aproximações de antes, ficamos com o seguinte:

u k + 1 = u k + 7,5 sen ⁡ 35 t k - 7,5 u k - 175 x k Δ t

u k + 1 = u k + f ( u k , t k , x k ) Δ t

u o = 0

Agora podemos usar um programa de planilhas para repetir esses passos várias vezes. Para cada valor de k fazemos os cálculos de forma a preencher a seguinte tabela com as seguinte fórmulas:

Passo 5

(a) Quando montamos essa tabela em um programa de planilhas e repetimos até t k = 1,0   s (o que acontece quando k = 100 ), ficamos com um gráfico de x k em função de t k idêntico ao que colocamos lá no segundo passo.

E o nosso objetivo é estimar o período, a amplitude e a frequência angular olhando para os valores no final do gráfico.

Você pode pedir para o seu programa de planilhas fazer o gráfico apenas em 0,8 ≤ t ≤ 0,99 , e então ficará com algo assim:

Daqui podemos obter as estimativas que foram pedidas:

T = 0,98 - 0,80 = 0,18   s

ω = 2 π T = 2 π 0,18 = 35   r a d / s

y m = 0,008   m

Onde y m é a amplitude da curva.

Passo 6

(b) Agora vamos fazer o mesmo para o caso em que ω D = k / m , ou seja:

ω D = 350 2,0 = 13,2   r a d / s

Esse termo só aparece dentro do seno em f ( u k , t k , x k ) , então só o que precisamos fazer é voltar nessa equação e trocar o valor.

A partir daí, construímos o mesmo gráfico de antes. Primeiro mostrando tudo até t = 1,0   s

Aqui não é tão fácil estimar os valores, porque temos pouco mais de uma oscilação completa no primeiro segundo. Mas vamos tentar:

T = 0,82 - 0,34 = 0,48   s

ω = 2 π T = 2 π 0,48 ≅ 13   r a d / s

y m = 0,07   m

Passo 7

(c) Agora queremos fazer o mesmo, mas para o caso em que ω D = 20   r a d / s . Só precisamos fazer a troca no mesmo termo de antes, e ficaremos com o seguinte gráfico:

Dessa vez os valores estão um pouco mais fáceis de estimar:

T = 2 0,61 - 0,45 = 0,32   s

ω = 2 π T ≅ 20   r a d / s

y m = 0,03   m

Resposta

(a) T = 0,18   s , ω = 35   r a d / s , y m = 0,008   m .

(b) Para ω D = k / m , temos: T = 0,48   s , ω = 13   r a d / s , y m = 0,07   m .

(c) Para ω D = 20   r a d / s , temos: T = 0,32   s , ω = 20   r a d / s , y m = 0,03   m .

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