Calcule as seguintes integrais:
(a) onde é um vetor constante e é a sua magnitude.
(b), onde é um cubo de lado , centrado na origem e .
(c), onde é uma esfera de raio com centro na origem, e é a sua magnitude.
(d), onde , e é uma esfera de raio centrada em .
Passo 1
E aí, galera! Tudo beleza! Que ótimo, então vamos lá!
(a) Nesse item, nós temos que entender qual é a função de na integral que foi dada. De uma maneira bem simples, ela vai nos retornar tudo que está no integrado, só que com no lugar de . Então, naturalmente também temos que substituir por . Olha só como vai ficar:
onde nós usamos .
Passo 2
(b)Antes de calcular a integral, vamos usar o resultado do Exemplo 1.15:
No nosso caso, como temos uma delta em três dimensões, então fica . Assim,
A função de é basicamente trocar no integrando por :
Passo 3
(c)Nesse caso, tem a função de substituir por (e por ). Mas, nesse caso . Então, já está fora da esfera de raio com centro na origem. Nesse caso, a integral é nula:
Passo 4
(d)Como , então essa delta é para substituir por . Então, vamos conferir primeiro se tá dentro do volume que é uma esfera de raio . Temos
Então, está dentro do volume. Podemos calcular a integral:
Por enquanto é só. Nos vemos no próximo desafio!
Resposta
Veja a resolução acima.