Calcule as seguintes integrais:

(a) ∫ t o d o   o   e s p a ç o ( r 2 + r → ⋅ a → + a 2 ) δ 3 ( r → - a → ) d τ onde a → é um vetor constante e a é a sua magnitude.

(b) ∫ V | r → - b → | 2 δ 3 ( 5 r → ) d τ , onde V é um cubo de lado 2 , centrado na origem e b → = 4 y ^ + 3 z ^ .

(c) ∫ V ( r 4 + r 2 ( r → ⋅ c → ) + c 4 ) δ 3 ( r → - c → ) d τ , onde V é uma esfera de raio 6 com centro na origem, c → = 5 x ^ + 3 y ^ + 2 z ^ e c é a sua magnitude.

(d) ∫ V r → ⋅ ( d → - r → ) δ 3 ( e → - r → ) d τ , onde d → = ( 1,2 , 3 ) , e → = ( 3,2 , 1 ) e V é uma esfera de raio 1,5 centrada em ( 2,2 , 2 ) .

Passo 1

E aí, galera! Tudo beleza! Que ótimo, então vamos lá!

(a) Nesse item, nós temos que entender qual é a função de δ 3 ( r → - a → ) na integral que foi dada. De uma maneira bem simples, ela vai nos retornar tudo que está no integrado, só que com a → no lugar de r → . Então, naturalmente também temos que substituir r por a . Olha só como vai ficar:

∫ t o d o   o   e s p a ç o ( r 2 + r → ⋅ a → + a 2 ) δ 3 ( r → - a → ) d τ = a 2 + a → ⋅ a → + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3 a 3

onde nós usamos a → ⋅ a → = a 2 .

Passo 2

(b)Antes de calcular a integral, vamos usar o resultado do Exemplo 1.15:

δ ( k x ) = 1 | k | δ ( x )

No nosso caso, como temos uma delta em três dimensões, então fica δ 3 ( k x → ) = 1 | k | 3 δ 3 ( r → ) . Assim,

δ 3 ( 5 x ) = 1 5 3 δ 3 ( x ) = 1 125 δ 3 ( r → )

A função de δ 3 ( r → ) é basicamente trocar r → no integrando por 0 → :

∫ V | r → - b → | 2 δ 3 ( 5 r → ) d τ = ∫ V | r → - b → | 2 δ 3 ( r → ) 125 d τ = 1 125 | b → | 2 = 1 125 ( 4 2 + 3 2 ) = 25 125 = 1 5

Passo 3

(c)Nesse caso, δ 3 ( r → - c → ) tem a função de substituir r → por c → (e r por c ). Mas, nesse caso c 2 = 5 2 + 3 2 + 2 2 = 38 ⇒ c = 38 ≈ 6,16 . Então, c → já está fora da esfera de raio 6 com centro na origem. Nesse caso, a integral é nula:

∫ V ( r 4 + r 2 ( r → ⋅ c → ) + c 4 ) δ 3 ( r → - c → ) d τ = 0

Passo 4

(d)Como δ 3 ( e → - r → ) = δ 3 ( r → - e → ) , então essa delta é para substituir r → por e → . Então, vamos conferir primeiro se e → tá dentro do volume V que é uma esfera de raio 1,5 . Temos e 2 = 3 2 + 2 2 + 1 2 = 14 ⇒ e = 14 =

e → - ( 2,2 , 2 ) = ( 3,2 , 1 ) - ( 2,2 , 2 ) = ( 1,0 , - 1 )

e → - ( 2,2 , 2 ) 2 = 1 + 1 = 2 < ( 1.5 ) 2 = 2.25

Então, e → está dentro do volume. Podemos calcular a integral:

∫ V r → ⋅ ( d → - r → ) δ 3 ( e → - r → ) d τ = e → ⋅ ( d → - e → ) = ( 3,2 , 1 ) ⋅ [ ( 1,2 , 3 ) - ( 3,2 , 1 ) ] = ( 3,2 , 1 ) ⋅ ( - 2,0 , 2 )

∫ V r → ⋅ ( d → - r → ) δ 3 ( e → - r → ) d τ = - 6 + 0 + 2 = - 4

Por enquanto é só. Nos vemos no próximo desafio!

Resposta

Veja a resolução acima.