Enunciado

Qual é a capacitância das três cascas esféricas metálicas concêntricas da FIGURA P30.64? DICA: Você consegue conceber isso como uma combinação de capacitores?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como é pedido a capacitância, que por definição é:

C = Q V

Precisamos achar a diferença de potencial V. Como? Achando o campo eletrico no objeto. Sim! Veja:

E = - ∇   V

Como achar o campo na esfera? Pela lei de Gauss, assim:

∮ E * d A = Q ε 0

Considerando o campo eletrico constante:

E * A = Q ε 0

Sabendo que a are ade uma esfera é:

A e s f e r a = 4 π r 2

Assim:

E e s f e r a = Q ε 0 4 π r i 2

Assim temos o campo. Mas o enunciado nos dá informação do potencial, assim:

E = - ∇ V → V = - ∮ E     d s

De modo que:

V = Q ε 0 4 π r i

Portanto:

C = Q V = 4 π   ε 0   r i

Tomaremos a diferença de potencial de R 1 → R 2 e R 2 → R 3 para calcular a capacitância.

Passo 2

Assim, para a diferença e potencial de R 1 → R 2 :

V = Q ε 0 4 π 1 R 1 - 1 R 2

De modo que:

C R 1 → R 2 = Q V = 4 π   ε 0   1 R 1 - 1 R 2 - 1

E para R 2 → R 3 :

V = Q ε 0 4 π 1 R 2 - 1 R 3

De modo que:

C R 2 → R 3 = Q V = 4 π   ε 0   1 R 2 - 1 R 3 - 1

Estando, segundo a imagem, ambos os capacitores em série, tomaremos a lei dos capacitores em série:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + … + 1 C n

Colocando nossos valores achados:

1 C e q = 1 C R 1 → R 2 + 1 C ( R 2 → R 3 ) = 1 4 π   ε 0   1 R 1 - 1 R 2 - 1 + 1 4 π   ε 0   1 R 2 - 1 R 3 - 1 =

1 C e q = 1 4 π   ε 0 1 R 1 - 1 R 2 + 1 R 2 - 1 R 3 = 1 4 π   ε 0 1 R 1 - 1 R 3 = 1 4 π   ε 0 R 3 - R 1 R 1 R 3

Portanto:

1 C e q = 1 4 π   ε 0 R 3 - R 1 R 1 R 3  

C e q = 4 π   ε 0 R 1 R 3 R 3 - R 1

Em outras palavras, a capacitância entre a capacitância interna e externa não atua na capacitância equivalente.

Passo 3

Colocando valores:

C e q = 1 9.0 × 10 9 N m 2 C 2 0.01   m 0.03   m 0.03   m - 0.01   m = 1.67 × 10 - 12 F

Resposta

C e q = 1.67 × 10 - 12 F

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