Enunciado

Um capacitor esférico, com um espaço de 1,0   m m entre as esferas, tem capacitância igual a 100   p F . Quantos valem os diâmetros das esferas?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um desenho da figura que o enunciado nos deu, temos:

Como é pedido a capacitância, que por definição é:

C = Q V

Precisamos achar a diferença de potencial V. Como? Achando o campo eletrico no objeto. Sim! Veja:

E = - ∇   V

Como achar o campo na esfera? Pela lei de Gauss, assim:

∮ E * d A = Q ε 0

Considerando o campo eletrico constante:

E * A = Q ε 0

Sabendo que a are ade uma esfera é:

A e s f e r a = 4 π r 2

Assim:

E e s f e r a = Q ε 0 4 π r i 2

Assim temos o campo. Mas o enunciado nos dá informação do potencial, assim:

E = - ∇ V → V = - ∮ E     d s

De modo que:

V = Q ε 0 4 π r i

A diferença de potencial é dada pela diferença de potencial de um raio ao outro e é a diferença de potencial do raio interno até o externo. Fica fácil ver isso tomando a definição do fluxo elétrico para a Lei de Gauss que usamos.

Assim:

V = Q 4 π   ε 0 1 R 1 - 1 R 2

Logo:

C = Q V = 4 π   ε 0   1 R 1 - 1 R 2 - 1

C = 4 π   ε 0 R 1 R 2 R 2 - R 1

Passo 2

De modo que:

C R 2 - R 1 4 π   ε 0 = R 1 R 2

É nos dado que R 2 - R 1 = 10 - 3 m , logo R 2 = 10 - 3 m + R 1

R 1 10 - 3 m + R 1 = C R 2 - R 1 4 π   ε 0

R 1 2 + 10 - 3 m R 1 - C R 2 - R 1 4 π   ε 0 = 0                       ( 0.1 )

Antes, temos que:

C R 2 - R 1 4 π   ε 0 = 100 × 10 - 12 F 10 - 3 m 9.00 × 10 9   N m 2 C 2 = 900 × 10 - 6   m 2

Assim, retornando à equação 0.1:

R 1 2 + 10 - 3 m R 1 - 900 × 10 - 6   m = 0

R 1 = - 10 - 3 m ± 10 - 3 m 2 + 3600 × 10   m 2 2 = 2,95   c m

E sendo R 1 = 2,95   c m , então R 2 :

R 2 - R 1 = 0.001   m → = R 2 = R 1 + 0.001

R 2 = 3.05   c m

Passo 3

Pede o diâmetro, logo:

d 1 = 2 R 1 = 5.9   c m

d 2 = 2 R 2 = 6.1   c m

Resposta

d 1 = 2 R 1 = 5.9   c m

d 2 = 2 R 2 = 6.1   c m

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