Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado “a” (fig). Uma carga Q de mesmo sinal que as outras três é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo direção e sentido).

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Esse problema requer um pouco de geometria entre outros conceitos. Iremos analisar cuidadosamente o triângulo dado no problema e com isso podermos chegar em nosso resultado.

Para começar, vamos tratar 3 retas em nosso triângulo onde passam pelo ponto centrado o qual se encontra a carga, A altura h do triângulo é dada por h   =   a 3 / 2 , caso você não consiga perceber isso, mostrarei de um jeito bem fácil. Outro ponto que devemos descobrir é o valor da reta “d” que é um valor arbitrário que depende de “a”. Após isso nós devemos apenas decompor os vetores e escrever as forças eletrostáticas em cada sentido dos versores î e ĵ.

Observe a figura abaixo para entender melhor o que irei falar.

Vamos encontrar a altura “h”:

vamos olhar para o triângulo do lado direito e a reta vermelha na vertical. Ela é nossa altura “h”. Então, vamos por um ângulo teta no vértice onde a carga “q” se encontra. Sabemos que s e n o θ = h a ,   e s s e   " a "   é   a   h i p o t e n u s a ,   como dividimos nosso triângulo ao meio, e a soma dos ângulos internos de um triângulo são 180 graus, então θ = 60 ° como s e n ( 60 ) = 3 2 , portanto.

s e n   ( 60 )   =   3 2 = h a → h = a 3 2 . Agora precisamos encontrar o termo “d”. Esse “d” é a reta que cruza da direita para a esquerda passando pelo ponto central do triângulo. Dessa forma temos d ²   = h 3 2 + a 2 2 = a 3 2 * 3 2 + a 2 2 → d = a 3 6 2 + a 2 2 1 / 2 =

= 3 a ² 36 + a ² 4 1 / 2 = 12 a ² + 36 a ² 144 1 / 2 podemos simplificar os elementos dividindo tudo por 4

d = 3 a ² + 9 a ² 36 1 / 2 = 12 a ² 36 1 / 2 = 3 a ² 9 = a 3 3 .

Passo 2

Agora que encontramos as partes mais chatinhas de encontrar, iremos trabalhar com as forças eletrostáticas atuando na carga Q. Seguindo a imagem do lado esquerdo, vamos aplicar a força da carga q em Q chamaremos ela de força F → 1 , Q = 1 4 π ϵ 0   q Q d ² c o s θ ( - î )   + 1 4 π ϵ 0   q Q d ² s e n θ   ĵ   aqui o cosseno é negativo devido o sentido contrário ao eixo x (adotando o sentido positivo de x da esquerda para direita).

A força que a carga 3q exerce na carga Q é:

F → 3 , Q = 1 4 π ϵ 0   3 q Q d ² c o s θ ( î )   + 1 4 π ϵ 0   3 q Q d ² s e n θ   ĵ

A força exercida pela carga 2q na carga Q é da forma:

F → 2 , Q = 0   + 1 4 π ϵ 0   2 q Q d ² s e n θ   ( - ĵ ) . A força eletrostática em x é zero, pois não existe componente em x para a carga 2q. A componente Y é negativa devido ao sentido que a força está exercendo sobre a carga Q. Agora pegamos a resultante dessas forças e chegaremos em nossa resposta. Lembrando que:

c o s ( θ ) = a / 2 d = a 2 d ,   s e n ( θ ) = h / 3 d = h 3 d

Resposta

Pegamos as forças das componentes x referente ao versos î. Sendo este o vetor que nos interessa

∑ F → R = F → 1 , Q + F → 3 , Q + 0 = - 1 4 π ϵ 0   q Q d ² c o s θ + 3 4 π ϵ 0   q Q d ² c o s θ =

1 4 π ϵ 0   q   Q   a 2 d ³ - 1 + 3 = 1 4 π ϵ 0   q   Q   a d ³ = 1 4 π ϵ 0   q   Q   a   a   3 3 3 = 1 4 π a ϵ 0   q   Q   a   3 ³ a ³   3 3 =

= 1 4 π a ϵ 0   q   Q   a   9 a ³   3 = 1 4 π a ϵ 0   q   Q   a   9 a ³   3   3 3 = 1 4 π a ϵ 0   9 3   q   Q 3   a ²   = 9   3   q   Q 12   π ϵ 0   a ²

A resposta no livro contém um 16 onde encontrei 12. Mas, refiz esse problema várias vezes, entretanto o valor não corresponde. Provavelmente há algum erro na resposta do livro. Você pode decompor os vetores de outras maneiras, mas o resultado ainda será diferente do livro.