Uma casca esférica grossa (raio interno a , raio externo b ) é feita de material dielétrico, com polarização ‘congelada’

P r = k r r ^ ,

onde k é uma constante e r é a distância a partir do centro (Figura 4.18). (Não existe carga livre no problema.) Encontre o campo elétrico nas três regiões por dois métodos diferentes:

(a) Localize toda a carga de polarização e use a lei de Gauss (Equação 2.13) para calcular o campo que ela produz.

(b) Use a Equação 4.23 para encontrar D, e depois obtenha E com a Equação 4.21. [Observe que o segundo método é muito mais rápido e evita qualquer referência explícita às cargas de polarização.]

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite meu povoo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

No item (a), para obter a carga de polarização teremos:

ρ p = - ∇ . P = - 1 r 2 ∂ ∂ r   r 2 k r = - k r 2

σ p = P . n ^ = + P . r ^ = k / b   - P . r ^ = - k / a

A partir das cargas de polarização encontradas e utilizando a lei de Gauss, temos que:

E = 1 4 π ϵ 0 Q e n c r 2 r ^

Para r < a ,   Q e n c = 0 , portanto, nesse caso teremos: E = 0 .

Já para r > b ,   Q e n c também é igual a zero, portanto E também é zero.

Enquanto isso, para a < r < b :

Q e n c = - k a 4 π a 2 + ∫ a r - k r 2 4 π r - 2   d r - = - 4 π k a - 4 π k r - a = - 4 π k r

Portanto, nesse caso descrito acima, substituiremos o valor de Q e n c na fórmula ( E = 1 4 π ϵ 0 Q e n c r 2 r ^ ), de modo a obter:

E = - k ϵ 0 r r ^

Passo 2

Nesse tópico da questão, vamos primeiro obter D da Equação 4.23, como mencionado no enunciado:

∮ D . d a = Q f = 0

Desse modo, temos que D = 0 em todos os lugares.

Em seguida, utilizando a expressão: D = ϵ 0 E + P , obteremos o valor do campo E.

Como D = 0 , temos que: ϵ 0 E + P = 0 . Resolvendo a partir disso:

E = - 1 ϵ 0 P

Portanto, quando r < a   e   r > b : E = 0

Já quando a < r < b : E = - k ϵ 0 r r ^

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) Para r < a   e   r > b ,   E = 0 .

Para a < r < b ,   E = - k ϵ 0 r r ^ .

(b) D = 0

Para r < a   e   r > b ,   E = 0 .

Para a < r < b ,   E = - k ϵ 0 r r ^ .