Uma casca esférica de raio a perfeitamente condutora gira em torno do eixo z com velocidade angular ω , em um campo magnético uniforme B = B 0 z ^ . Calcule a fem desenvolvida entre o ‘polo norte’ e o Equador. [Resposta: 1 2 B 0 ω a 2 ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Pela definição de FEM, e conhecendo apenas a força por unidade de carga, aqui está a magnética:

E = ∫ f → ∙ d l → = ∫ v → × B → ∙ d l →

Tendo as seguintes informações sobre o vetor v → e o diferencial d l →

d l → = a d θ θ ^ ;     v → = a sen ⁡ θ ω ϕ ^

Com isso, o produto vetorial será igual a

v → × B → = a sen ⁡ θ ω ϕ ^ × B 0 z ^ = a sen ⁡ θ ω B 0 ϕ ^ × cos ⁡ θ r ^ - sen ⁡ θ θ ^

Logo, temos que

v → × B → = a sen ⁡ θ ω B 0 ( cos ⁡ θ θ ^ + sen ⁡ θ r ^ )

Então

v → × B → ∙ d l → = B 0 a 2 ω sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Onde o caminho de integração é como na figura, pois o problema é independente em ϕ .

Passo 2

A FEM é finalmente calculada:

E = ∫ 0 π 2 B 0 a 2 ω sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = B 0 a 2 ω ∫ 0 π 2 1 2 sen ⁡ 2 θ   d 2 θ 1 2  

Com isso, temos o seguinte resultado

E = 1 4 B 0 a 2 ω - 1 cos ⁡ 2 θ 0 π / 2 = 1 2 B 0 a 2 ω

Resposta

E = 1 2 B 0 a 2 ω