Um caso raro no qual o campo eletrostático E → para um circuito pode ser calculado é o seguinte [M. A. Heald, Am. J. Phys. 52, 522 (1984)]: imagine uma folha cilíndrica infinitamente longa de resistividade uniforme e raio a . Uma reentrância (corresponde à bateria) é mantida em ± V 0 / 2 , em ϕ = ± π , e uma corrente estacionária flui pela superfície, como indicado na figura 7.51. Segundo a lei de Ohm, então,

V ( a , ϕ ) = V 0 ϕ 2 π ,   ( - π < ϕ < π )

(b)Encontre a densidade superficial de carga do cilindro.[Resposta: ϵ 0 V 0 / π a t a n ϕ / 2 ].

Passo 1

Dando continuidade nessa questão, agora temos que calcular a densidade superficial de carga do cilindro sabendo que

V d e n t r o ( s , ϕ ) = V 0 π a r c t a n s   s e n   ϕ a + s c o s ϕ ,   ( s < a )

V f o r a ( s , ϕ ) = V 0 π a r c t a n a   s e n   ϕ s + a c o s ϕ ,   ( s > a )

e que

σ ( ϕ ) = - ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ s - ∂ V d e n t r o ∂ s | s = a

Passo 2

Usando as informações do passo anterior, vemos que

∂ V f o r a ∂ s = V 0 π ∂ ∂ s a r c t a n a   s e n   ϕ s + a c o s ϕ = V 0 π 1 1 + a   s e n   ϕ s + a c o s ϕ 2 - a   s e n   ϕ s + a c o s ϕ 2 = V 0 π - a   s e n   ϕ ( s + a c o s ϕ ) 2 + a   s e n   ϕ 2

∂ V f o r a ∂ s = V 0 π - a   s e n   ϕ s 2 + a 2 c o s 2 ϕ + 2 a s c o s ϕ + a 2 s e n 2   ϕ = - V 0 π a   s e n   ϕ s 2 + a 2 + 2 a s c o s ϕ

∂ V d e n t r o ∂ s = V 0 π ∂ ∂ s a r c t a n s   s e n   ϕ a + s c o s ϕ = V 0 π 1 1 + a   s e n   ϕ s + a c o s ϕ 2   s e n   ϕ ( a + s c o s ϕ ) - s   s e n   ϕ c o s ϕ a + s c o s ϕ 2

∂ V d e n t r o ∂ s = V 0 π a   s e n   ϕ ( s + a c o s ϕ ) 2 + a   s e n   ϕ 2 = V 0 π a   s e n   ϕ s 2 + a 2 c o s 2 ϕ + 2 a s c o s ϕ + a 2 s e n 2   ϕ = V 0 π a   s e n   ϕ s 2 + a 2 + 2 a s c o s ϕ

Passo 3

Então, juntando tudo, obtemos

σ ( ϕ ) = - ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ s - ∂ V d e n t r o ∂ s | s = a = - ϵ 0 - V 0 π a   s e n   ϕ s 2 + a 2 + 2 a s c o s ϕ - V 0 π a   s e n   ϕ s 2 + a 2 + 2 a s c o s ϕ s = a

σ ( ϕ ) = 2 ϵ 0 V 0 π a   s e n   ϕ a 2 + a 2 + 2 a 2 c o s ϕ = 2 ϵ 0 V 0 2 π a   s e n   ϕ 1 + c o s ϕ = ϵ 0 V 0 π a   s e n   ϕ 1 + c o s ϕ

Como s e n   ϕ = 2   s e n   ϕ / 2 c o s   ϕ / 2 e 1 + c o s ϕ = 2 c o s 2   ϕ / 2 , então,

σ ( ϕ ) = ϵ 0 V 0 π a   2   s e n   ϕ / 2 c o s   ϕ / 2 2 c o s 2   ϕ / 2 = ϵ 0 V 0 π a   s e n   ϕ / 2 c o s   ϕ / 2 = ϵ 0 V 0 π a t a n   ϕ 2

Resposta

σ ( ϕ ) = ϵ 0 V 0 π a t a n   ϕ 2