Um caso raro no qual o campo eletrostático para um circuito pode ser calculado é o seguinte [M. A. Heald, Am. J. Phys. 52, 522 (1984)]: imagine uma folha cilíndrica infinitamente longa de resistividade uniforme e raio . Uma reentrância (corresponde à bateria) é mantida em , em , e uma corrente estacionária flui pela superfície, como indicado na figura 7.51. Segundo a lei de Ohm, então,
(a)Use a separação de variáveis em coordenadas cilíndricas para determinar dentro e fora do cilindro. [Resposta: ; ]
Passo 1
Fala, galera! Questão com citação de artigo já bate aquela responsa, né? Mas não se preocupe não que essa a gente Responde Aí juntos.
Lá no Capítulo 3, questão 3.23, nós resolvemos a equação de Laplace para coordenadas cilíndricas. Eu sei que isso já faz um tempinho então, se precisar, vai lá nessa questão dar uma revisada. Como então é fácil a gente perceber que
Ou seja, a função é ímpar. Então, a gente só precisa dos termos que temos :
Passo 2
Quando , os potenciais tanto de dentro quanto de fora tem que ser iguais ao valor do potencial na superfície:
Para , temos
Para conseguir os coeficientes , precisamos convocar o famoso truque de Fourier, que nada mais é que multiplicar por e integrar em . Então, bora lá!
Você provavelmente já tá ligado que . Por outro lado, pela regra do produto, temos
porque e e .
Passo 3
Então, basicamente temos
Assim, conseguimos mostrar que
Passo 4
Agora, vamos partir para a condição e usar o truque de Fourier novamente:
Todo o raciocínio aqui é igual aos passos anteriores, com exceção de no lugar de e no lugar de . Então, vamos ser espertos e aproveitar o resultado que nós temos, fazendo apenas as devidas mudanças no lugar de , no lugar de :
Passo 5
Show de bola! Para ficar melhor ainda, nós podemos somar as séries de e . Basicamente, temos séries do tipo
onde pode ser ou dependendo do caso. Pela fórmula de Euler, temos . Então, . Para conseguir isolar , temos que pegar só a parte imaginária de , ou seja, . Como tem valores reais, eles podem entrar em sem nenhum problema. Sendo assim,
Por outro lado, a série de Taylor do é assim:
que é muito parecido com o que a gente tem. Só precisamos fazer . Então,
Passo 6
A cereja do bolo fica com a relação . Se a gente assumir que , então devemos ter
onde a gente usou as relações: e . Assim, finalmente chegamos a resposta