Enunciado

Um certo metal possui 1,70 × 10 28 elétrons de condução por metro cúbico. Uma amostra do metal tem volume de 6,00 × 10 - 6   m 3 e está à temperatura de 200   K . Quantos estados ocupados existem em um intervalo de energia de 3,20 × 10 - 20   J com centro em uma energia de 4,00 × 10 - 19   J ? (Sugestão: não arredonde o expoente.)

Passo 1

Vamos utilizar nesse problema, inicialmente, a equação para energia de Fermi. Após isso, iremos usar a equação da probabilidade de Fermi para estados ocupados e depois calcularemos a densidade de estados, dado por N E , para encontrarmos o número de estados ocupados.

Passo 2

Para começar, vamos utilizar a equação da energia de Fermi, que é dada por

E F = 0,121 ⋅ h 2 m e ⋅ n 2 3

Substituindo os valores na equação, na qual n é o número de elétrons de condução, chegamos que a energia de Fermi é

E F = 3,855 × 10 - 19   J

Usando agora a Eq. 41-6, temos que

P E = 1 e E - E F / k ⋅ T   + 1

Calculando a diferença E - E F para E = 4,00 × 10 - 19   J e para E F encontrado, temos que

E - E F = 1,45 × 10 - 20   J

E o termo k ⋅ T , onde k é a constante de Boltzmann e T = 200   K , temos que

E - E F k ⋅ T = 1,45 × 10 - 20   J 1,38 × 10 - 23 J K ⋅ 200   K = 5,2536

Substituindo na probabilidade de estado, temos que

P E = 5,20 × 10 - 3

Passo 3

Agora calculando a densidade de estados N E , temos que

N E = 8 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ m 3 2 h 3 ⋅ E 1 2 = 8 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 9,109 × 10 - 31   k g 3 2 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s 3 ⋅ 4,00 × 10 - 19   J 1 2 =

= 6,717 × 10 46   / m 3 ⋅ J

Sabendo que o número de estados ocupados é dado por

n = N O E ⋅ V ⋅ Δ E = N E ⋅ P E ⋅ V ⋅ Δ E

Substituindo os valores, ficamos com

n = 6,717 × 10 46   / m 3 ⋅ J ⋅ 5,20 × 10 - 3 ⋅ 6,00 × 10 - 6   m 3 ⋅ 3,20 × 10 - 20   J =

= 6,7 × 10 19

Resposta

n = 6,7 × 10 19

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