Classifique as ondas representadas pelas seguintes funções, da maior para a menor, de acordo com (i) suas amplitudes, (ii) seus comprimentos de onda, (iii) suas frequências, (iv) seus períodos, e (v) sua velocidade. Se os valores de grandeza são iguais para as duas ondas, mostre que elas têm uma classificação igual. Para todas as funções, x e y estão dados em metros e t em segundos. (a) y   =   4   s e n   ( 3 x   –   15 t ) (b) y   =   6   c o s ( 3 x   +   15 t   –   2 ) (c) y   =   8   s e n   ( 2 x -   15 t )   (d) y   =   8   c o s   ( 4 x   +   20 t )   (e) y   =   7   s e n   ( 6 x   –   24 t )

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, cara... Antes de tudo vamos relembrar a equação de uma posição transversal:

y x , t = A s e n k x - ω t + ϕ                                       ( 0.1 )

Que podemos reescrever dessa forma:

y x , t = A   s e n ω t - Δ t +   ϕ                                                     0 . 2

  y x , t = A   s e n 2 π T t - x v + ϕ                                             0 . 3

y x , t = A   s e n   2 π t T - x λ + ϕ                                               (   0 . 4 )

Onde A = Amplitude; k= número de ondas; x= posição; ω = frequência angular; t = tempo; e ϕ = fase; T = período; e λ =   comprimento de onda.

Passo 2

(i)

Sabendo isso, analisemos as equações:

a )   y   =   4   s e n   ( 3 x   –   15 t )

b ) y   =   6   c o s ( 3 x   +   15 t   –   2 )

c ) y   =   8   s e n   ( 2 x -   15 t )  

d ) y   =   8   c o s ⁡ ( 4 x   +   20 t )  

e )   7   s e n   ( 6 x   –   24 t )

Analisando a amplitude A de cada um, vemos que:

c = d > e > b > a

Passo 3

(ii)

Relembrando a equação (0.4):

x , t = A   s e n   2 π t T - x λ + ϕ                                               (   0.4 )

E analisando as equações, temos para a):

2 π ( 3 x 2 π - 15 t 2 π )

Pegando a parte de x que nos interessa:

    a )           3 x 2 π = - x λ → λ = 2 π 3

Para b):

2 π ( 3 x 2 π - 15 t 2 π )

        b )           3 x 2 π = - x λ → λ = 2 π 3

E assim para c), d) e e):

c )   λ = π

d ) \ λ = π 2

e ) π 3

(Confira :p)

Explicamos que já foi pegado módulo da distância, caso fique com dúvida.

Assim temos para os comprimentos de onda:

c > a = b > d > e

(iii)

Usando a equação (0.4):

x , t = A   s e n   2 π t T - x λ + ϕ                                               (   0.4 )

E aplicando a a);

2 π ( 3 x 2 π - 15 t 2 π )

Pegando a parte de t que é a que nos interessa:

t T = 15 t 2 π → T = 2 π 15   l o g o   f = 1 T = 15 2 π

E para b)

t T = 15 t 2 π → T = 2 π 15   l o g o   f = 1 T = 15 2 π

Assim também para c), d) e e):

c )   f = 15 2 π

d )   f = 10 π

e ) f = 12 π

Assim, para as frequências temos:

e > d > a = b = c

(iv)

Sendo o período o inverso da frequência:

a )   T = 2 π 15

b ) T = 2 π 15

c ) T = 2 π 15

d ) T = π 10

e ) T = π 12

E temos assim para os períodos:

a = b = c > d > e

(v)

Relembrando a equação (0.1): y x , t = A s e n k x - ω t + ϕ                                       ( 0.1 )

k x = ω t → d k x d t = d ω t d t

d x d t k = ω

v = d x d t = ω k

Para a):

3 x - 15 t = 0 → 3 x = 15 t

Tendo k = 3 e ω = 15

v = 15 3 m s = 5 m s

Para b)

3 x + 15 t → 3 x = - 15 t

v = - 15 5 m s = - 5 m s

E assim para c), d), e e)

c )   v = 15 2 m s

d )   v = - 5 m s

e )   v =   4 m s

Assim:

c > a > e > d = b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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